Question

Qual é a ordenada do vértice da função quadrática, cujo gráfico está representado a seguir? (imagem em anexo)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Exidhani, como prometido, vamos resolver a sua questão.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se ordenada do vértice da função quadrática que tem o gráfico que foi anexado por foto. Note que uma função quadrática é aquela da forma:

y = ax² + bx + c.

ii) Como afirmamos antes, não vamos nem considerar o ponto (1; 0) como um dos pontos por onde passa o gráfico porque isso não é verdade. O ponto deveria ser (-1; 0), pois está à esquerda do ponto (0; 0).
Mas como há mais pontos por onde a parábola passa, então vamos considerar apenas os seguintes pontos (x; y), pois só necessitamos de três pontos para encontrar qual é a função y = ax² + bx + c. Então vamos considerar apenas os seguintes pontos:

(0; 0); (1; 2) e (2; 6)

iii) Agora vamos tomar cada ponto e substituir o "x' pela abscissa de cada ponto  e "y" pela ordenada de cada ponto. Assim, teremos:

iii.1) Para o ponto (0; 0) iremos na função y = ax² + bx + c e substituiremos o "x" por "0" e o "y" por "0". Assim, teremos:

0 = a*0² + b*0 + c
0 = 0 + 0 + c --- ou apenas:
0 = c  --- ou o que é a mesma coisa:
c = 0 <--- Este será o valor do termo "c" da equação y = ax² + bx + c. 

iii.2) Para o ponto (1; 2)) iremos na função y = ax² + bx + c e substituiremos o "x" por "1" e o "y" por "2". Assim, teremos:

2 = a*1² + b*1 + c
2 = a*1 + b*1 + c --- ou apenas:
2 = a + b + c --- mas como já vimos que c = 0, então ficamos apenas com:
2 = a + b + 0 --- ou, o que é a mesma coisa:
a + b = 2      . (I)

iii.3) Para o ponto (2; 6) iremos na função y = ax² + bx + c e substituiremos o "x" por "2" e o "y" por "6". Assim, teremos:

6 = a*2² + b*2 + c
6 = a*4 + 2b + c
6 = 4a + 2b + c ---- ou, invertendo-se, teremos:
4a + 2b + c = 6  ----- mas como já vimos que "c" é zero, teremos:
4a + 2b + 0 = 6 --- ou apenas:
4a + 2b = 6   . (II)

iv) Agora veja que ficamos com um sistema de apenas duas equações e duas incógnitas, formado pelas expressões (I) e (II) e que são estas:

{a + b = 2         . (I)
{4a + 2b = 6     . (II)

Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "-2" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Fazendo isso, teremos:

-2a - 2b = - 4 ---- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-2"]
4a + 2b =  6 ----- [esta é a expressão (II) normal]
---------------------------- somando membro a membro, teremos;
2a + 0 = 2 --- ou apenas:
2a = 2
a = 2/2
a = 1 <---Este é o valor do termo "a" da equação y = ax² + bx + c.

Agora, para encontrar o termo "b" vamos em quaisquer uma das expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos o valor de "a' por "1". Vamos na expressão (I), que é esta;

a + b = 2 ----- substituindo-se "a' por "1", teremos:
1 + b = 2
b = 2-1
b = 1 <---- Este é o valor do termo "b" da equação y = ax² + bx + c.

v) Agora note que já temos que a = 1; b = 1 e c = 0. Então a nossa equação y = ax² + bx + c será esta:

y = 1x² + 1x + 0 --- ou apenas
y = x² + x <--- Esta é a equação do 2º grau procurada e que tem o gráfico dado na foto anexada ao enunciado da questão.

vi) Agora vamos encontrar qual é o vértice da parábola dessa equação.
Note que para encontrarmos o "x" e o "y" do vértice (xv; yv) aplicamos as seguintes fórmulas:

xv = -b/2a ----- como a equação é: y = x² + x, então temos que "b" = 1 e que "a' é "1" também. Assim, substituindo-se, teremos;

xv = -1/2*1
xv = -1/2 <---- Este é o "x" do vértice da equação da sua questão, ou seja, é a abscissa do vértice da parábola.

yv = -(Δ)/4a ----- sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo,temos:
yv = -(b²-4ac)/4a ---- como a equação é y = x²+x, então temos que "b" = 1, que "a" = 1 e que c = 0, pois a equação não tem o termo "c". Assim, substituindo-se, teremos:

yv = -(1² - 4*1*0)/4*1
yv = - (1 - 0)/4 --- ou apenas
yv = -(1)/4 ---- ou apenas:
yv = - 1/4 <--- Este é o "y" do vértice da equação da sua questão, ou seja, é a ordenada do vértice da parábola.

Assim, o vértice da parábola (xv; yv) é este: (-1/2; -1/4), ou, o que é a mesma coisa: (-0,5; -0,25), pois -1/2 = - 0,5; e -1/4 = - 0,25.
E como está sendo pedido apenas o valor da ordenada, então esse valor será:

- 1/4 <---- Esta é a resposta. Ou seja, a ordenada do vértice da equação da sua questão é igual a "-1/4". Note que "-1/4" é a mesma coisa que "-0,25".

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja como está errado aquela ponto (1; 0) que está marcado como se a parábola passasse por ele e como ele deveria ser (-1; 0), como antes havíamos advertido. Note: se você substituir, na função dada [y = x² + x], o "x" por "-1" vai encontrar que o ponto será exatamente (-1; 0) como havíamos afirmado antes.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.