Question

Qual é a maior área possível de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede √8 cm?

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Primeiro, considere os catetos deste triângulo retângulo como $x$ e $y$, ambos maiores que zero. Pelo Teorema de Pitágoras, vale que:

$(x)^2+(y)^2=(\sqrt{8})^2\\\\\\ x^2+y^2=8$

Então, sabendo que a área de um triângulo retângulo é igual a metade do produto de seus catetos, temos: $A(x,~y)=\dfrac{x\cdot y}{2}$.

Pela primeira igualdade, pomos $y$ em função de $x$:

$y^2=8-x^2\\\\\\ y=\sqrt{8-x^2}$

Assim, a área se torna uma função de $x$:

$A(x)=\dfrac{x\cdot \sqrt{8-x^2}}{2}$

Então, devemos encontrar o ponto crítico desta função: são os pontos cujas retas tangentes à curva desta função têm inclinação nula, i.e sua derivada é igual a zero.

Diferenciamos a igualdade

$\dfrac{d}{dx}(A(x))=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x\cdot \sqrt{8-x^2}}{2}\right)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada é um operador linear, logo vale que: dadas $f,~g$ contínuas e deriváveis, $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$ e $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$.

• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do produto: dadas $f,~g$ contínuas e deriváveis: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: dadas $f,~g$ contínuas e deriváveis, $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.

• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a linearidade

$A'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{d}{dx}(x\cdot \sqrt{8-x^2})$

Aplique a regra do produto

$A'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{d}{dx}(x)\cdot \sqrt{8-x^2}+x\cdot \dfrac{d}{dx}(\sqrt{8-x^2})\right)$

Aplique a regra da cadeia e da potência, sabendo que $\sqrt{8-x^2}$ é uma função composta $f(g(x))$ com $f(x)=\sqrt{x}$ e $g(x)=8-x^2$:

$A'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(1\cdot x^{1-1}\cdot \sqrt{8-x^2}+x\cdot \dfrac{d}{dx}(8-x^2)\cdot \dfrac{1}{2}\cdot (8-x^2)^{\frac{1}{2}-1}\right)$

Aplique a linearidade e aplique a regra da potência novamente. Some os valores nos exponetes e multiplique os termos.

$A'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(1\cdot x^{0}\cdot \sqrt{8-x^2}+x\cdot \left[\dfrac{d}{dx}(8)-\dfrac{d}{dx}(x^2)\right]\cdot \dfrac{1}{2}\cdot (8-x^2)^{-\frac{1}{2}}\right)\\\\\\ A'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(1\cdot 1\cdot \sqrt{8-x^2}+x\cdot [0-2\cdot x^{2-1}]\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{8-x^2}}\right)\\\\\\ A'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\sqrt{8-x^2}-\dfrac{x^2}{\sqrt{8-x^2}}\right)$

Somamos as frações, sabendo que $y=\sqrt{8-x^2}>0$

$A'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{8-x^2-x^2}{\sqrt{8-x^2}}\right)\\\\\\ A'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{8-2x^2}{\sqrt{8-x^2}}\right)$

Igualamos esta derivada a zero

$A'(x)=0\\\\\\\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{8-2x^2}{\sqrt{8-x^2}}\right)=0$

Neste caso, visto que o denominador é uma função estritamente positiva, temos apenas que:

$8-2x^2=0$

Subtraia $8$ em ambos os lados da igualdade

$-2x^2=-8$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $(-2)$ e simplifique a fração

$x^2=4$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da igualdade

$\sqrt{x^2}=\sqrt{4}\\\\\\ |x|=2\\\\\\ x=\pm~2$

Por hipótese, $x>0$, logo assumimos apenas a solução:

$x=2$

Com isso, temos que o único ponto crítico desta função é o ponto $x=2$. Calculando sua área neste ponto, temos:

$A(2)=\dfrac{2\cdot \sqrt{8-2^2}}{2}\\\\\\ A(2)=\sqrt{8-4}\\\\\\ A(2)=\sqrt{4}\\\\\\ A(2)=2$

Esta é a maior área possível deste triângulo.