Question

qual é a função f cuja a derivada e dada por f´(x)= 2 cos (2x)+2x e f(3,14)=0?

Answer 1

É dado o PVI:

$\begin{cases}f'(x)=2\cos(2x)+2x\\f(3,14)=0\end{cases}$

Vamos desenvolver a primeira equação, que é separável. Considere que $f(x)=y$ e que é conhecido um ponto $y(x_0)=y_0$ da função:

$\displaystyle f'(x)=2\cos(2x)+2x\\\\ \dfrac{dy}{dx}=2\cos(2x)+2x\\\\ \int_{y_0}^ydy=\int_{x_0}^x(2\cos(2x)+2x)dx\\\\ ~[y]_{y_0}^y=2\int_{x_0}^x\cos(2x)\,dx+2\int_{x_0}^xx\,dx\\\\ y-y_0=2\left[\dfrac{1}{2}\sin(2x)\right]_{x_0}^x+2\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{x_0}^x\\\\ y-y_0=\left[\sin(2x)\right]_{x_0}^x+\left[x^2\right]_{x_0}^x\\\\ y-y_0=(\sin(2x)-\sin(2x_0))+(x^2-x_0^2)$

Como foi dado o ponto $f(3,14)=0$, vamos considerar $x_0=3,14\approx \pi$ e $y_0=0$. Assim:

$y-y_0=(\sin(2x)-\sin(2x_0))+(x^2-x_0^2)\\\\ y-0=(\sin(2x)-\sin(2\cdot\pi))+(x^2-\pi^2)\\\\ y=\sin(2x)+x^2-\pi^2\\\\ \boxed{f(x)=\sin(2x)+x^2-\pi^2}$