Question

Qual é a forma trigonométrica do número complexo?

Answer 1

✅ Após ter resolvido todos os cálculos concluímos que a forma trigonométrica ou polar do referido número complexo é:

       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf z = 2\cdot\Bigg(cos\:\frac{3\pi}{4} + i\cdot sen\:\frac{3\pi}{4} \Bigg)\:\:\:}} \end{gathered} }$

Seja o número complexo:

               $\large\displaystyle\begin{gathered}z = -\sqrt{2} + \sqrt{2}i \end{gathered}$

A forma trigonométrica do número complexo pode ser obtida pela seguinte fórmula:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}z = |z|\cdot(cos\:\theta + i\cdot sen\:\theta) \end{gathered}$

• Calculando o módulo |z|, temos:

            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}|z| = \sqrt{(-\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2}} \end{gathered} }$

                  $\large\displaystyle\begin{gathered}= \sqrt{2 + 2} \end{gathered}$

                  $\large\displaystyle\begin{gathered}= \sqrt{4} \end{gathered}$

                  $\large\displaystyle\begin{gathered}= 2 \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:|z| = 2 \end{gathered}$

• Obtendo o argumento principal do número complexo:

             $\Large\begin{cases}sen\:\theta = \frac{b}{|z|} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\cos\:\theta = \frac{a}{|z|} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

             $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\theta = 135^{\circ} = \frac{3\pi}{4} \end{gathered}$

✅ Portanto, a forma trigonométrica é:

         $\large\displaystyle\begin{gathered}z = 2\cdot\Bigg(cos\:\frac{3\pi}{4} + i\cdot sen\:\frac{3\pi}{4} \Bigg) \end{gathered}$

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