Question

Qual a soma entre o maior e o menor valor de x, sabendo que α ϵ [0; π/2], quando x = – 3. cos²α – 2. senα + 2, é: *

a. – 2
b 3 .
c – 1
d. 2
e. 0

​

Answer 1

Resposta:  c) -1

Resolução:

Sabendo que os zeros da 1ª derivada de uma função nos dão os possíveis máximos e mínimos da função original, comecemos por determinar a expressão de  $x'$  e os seus zeros.

Nota: Nos Cálculos Auxiliares vais reparar que usei uma regra da Trigonometria que nos diz que  $\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}$.

    $x=-3\cos^2\alpha-2\sin\alpha+2$

    $x'=\left(-3\cos^2\alpha-2\sin\alpha+2\right)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x'=\left(-3\cos^2\alpha\right)'-(2\sin\alpha)'+2'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x'=-3\left(\cos^2\alpha\right)'-2(\sin\alpha)'+2'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x'=-3[2\cos\alpha\times(-\sin\alpha)]-2\cos\alpha+0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x'=6\sin\alpha\cos\alpha-2\cos\alpha$

    $x'=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow6\sin\alpha\cos\alpha-2\cos\alpha=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow3\sin\alpha\cos\alpha-\cos\alpha=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cos\alpha(3\sin\alpha-1)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cos\alpha=0\;\;\;\vee\;\;\;3\sin\alpha-1=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;\;\;\vee\;\;\;3\sin\alpha=1\Leftrightarrow\;\;\;,\;k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;\;\;\vee\;\;\;\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow\;\;\;,\;k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;\;\vee\;\;\alpha=\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)+2k\pi\;\vee\;\;\alpha=\pi-\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)+2k\pi\Leftrightarrow\;\;,\;k\in\mathbb{Z}$

Como esta é uma função periódica, tem infinitos zeros, pelo que temos de averiguar aqueles que estão dentro do Domínio dado (α ϵ [0; π/2]).

Seja  $k=0$:

$\alpha=\dfrac{\pi}{2}\;\checkmark\;\;\;\vee\;\;\;\alpha=\underbrace{\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)}_{{\approx\;0,3398\;<\;\dfrac{\pi}{2}}}\;\checkmark\;\;\;\vee\;\;\;\alpha=\underbrace{\pi-\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)}_{{\approx\;2,8018\;>\;\dfrac{\pi}{2}}}\;\bold{x}$

Seja  $k=1$:

$\alpha=\underbrace{\dfrac{3\pi}{2}}_{{>\;\dfrac{\pi}{2}}}\;\;\bold{x}\;\;\;\vee\;\;\;\alpha=\underbrace{\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)+2\pi}_{{\approx\;6,6230\;>\;\dfrac{\pi}{2}}}\;\;\bold{x}$

Seja  $k=-1$:

$\alpha=\underbrace{-\dfrac{\pi}{2}}_{{<\;0}}\;\;\bold{x}\;\;\;\vee\;\;\;\alpha=\underbrace{\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)-2\pi}_{{\approx\;-5,9433\;<\;0}}\;\;\bold{x}\;\;\;\vee\;\;\;\alpha=\underbrace{\pi-\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)-2\pi}_{{\approx\;-3,4814\;<\;0}}\;\;\bold{x}$

Logo, os zeros de x dão-se em:

$\alpha=\left\{\dfrac{\pi}{2}\;;\;\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)\right\}$

Vamos, agora, construir uma tabela de monotonia e sinal, de forma a avaliar os máximos e mínimos de x.

α   | 0   |         | arcsin(1/3) |         |   π/2 |

x   |max|   $\searrow$   |      min      |   $\nearrow$   | max |

x'  |  -2  |    -    |        0        |    +   |    0   |

$\text{M\'{a}ximos de x}:(0\;;\;-1)\;\;\;\text{e}\;\;\;\left(\dfrac{\pi}{2}\;;\;0}\right)\\\\\text{M\'{i}nimos de x}:\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)\;;\;-\dfrac{4}{3}\right)$

Podemos, agora, somar o maior valor de x (maior máximo) com o menor valor de x (menor mínimo):

   $\text{Maior Valor de x}+\text{Menor Valor de x}=$

$=0+\left(-\dfrac{4}{3}\right)=$

$=-\dfrac{4}{3}\approx-1$

    Cálculos Auxiliares    

$x(0)=-3\cos^2(0)-2\sin(0)+2=-3\times1^2-2\times0+2=-3+2=-1$

   $x\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)=$

$=-3\cos^2\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)-2\sin\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)+2=$

$=-3\left(\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}\right)^2-2\times\dfrac{1}{3}+2=$

$=-3\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}\right)-\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3}=$

$=-3\left(\dfrac{9}{9}-\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{4}{3}=$

$=-3\times\dfrac{8}{9}+\dfrac{4}{3}=$

$=-\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{3}=$

$=-\dfrac{4}{3}$

$x\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-3\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+2=-3\times0-2\times1+2=-2+2=0$

$x'(0)=6\sin(0)\cos(0)-2\cos(0)=6\times0\times1-2\times1=0-2=-2$

  $x'\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)=$

$=6\sin\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)\cos\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)-2\cos\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)=$

$=6\times\dfrac{1}{3}\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}-2\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}=$

$=2\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}-2\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}=$

$=0$

$x'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=6\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=6\times1\times0-2\times0=0-0=0$

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