Question

Qual a integral de:$\int\limits senx.cosx dx$.

Resolvida pelo metodo da substituição "u",  sendo u = senx e depois u = cosx. Por que tem duas resposta?

Answer 1

$\boxed{ \int\limits {sen(x)*cos(x)} \, dx }$

fazendo
$u = sen (x)\\\\du =cos(x).dx\\\\ \frac{du}{cos(x)}=dx$

$\int\limits {u*cos(x)} \, \frac{du}{cos(x)}= \int\limits {u} \, du = \frac{u^2}{2} +c = \boxed{ \frac{sen^2(x)}{2} + C }$
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integrando fazendo
$u = cos(x)\\\\ \frac{du}{-sen(x)} = dx$

a integral fica
$\int\limits {sen(x)*u} \, \frac{du}{-sen(x)}= \int\limits {-u} \, du = \frac{-u^2}{2} =\boxed{ \frac{-cos^2(x)}{2} +C }$
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as duas respostas estão corretas porque derivando
$\frac{d}{dx} \frac{sen^2(x)}{2} + C = sen(x)*cos(x)\\\\\\\\ \frac{d}{dx} \frac{-cos^2(x)}{2} = sen(x)*cos(x)$

mas como as duas respostas estão diferentes..
então a constante de integraçao delas tambem são diferentes

por exemplo se vc tem
$x^2 + 4$

derivando vc chega a 2x

quando vc integrar a derivada ...ela tem que voltar a ser a função x²+ 4 certo?

$\int\limits {2x} \, dx = x^2+C$

logo C = 4 ...

se vc tivesse x² + 5
a derivada e a integral teriam o mesmo resultado da derivada e integral de x²+4
mas a constante nesse caso será 5

como elas compartilham a mesma derivada...porque quando vc deriva a constante é 0 porque ela não varia
a integral é o inverso da derivada...na integral indefinida sempre deve-se adicionar uma constante para que se possa saber qual a função original caso vc conheça o valor que f(x) assume para um determinado valor variavel

a integral indefinida ela gera uma familia de funções ..a unica coisa que irá mudar de uma para outra é onde a função intercepta o eixo y
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provando que as constantes tem valores diferentes
$\frac{sen^2(x)}{2} + C=\frac{-cos^2(x)}{2} +K\\\\\frac{sen^2(x)}{2} + \frac{cos^2(x)}{2} = K-C\\\\\\ \frac{1}{2}*(sen^2(x)+cos^2(x) ) = K-C$

lembrando que 
$sen^2(x)+cos^2(x)=1$

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$\boxed{\frac{1}{2}=K-C }$

se as constantes fossem iguais o resultado seria 0