Question

Qual a condição de existência para:
㏒lx-1/xl l=módulo
Alguém me ajuda por favor?

Answer 1

Olá!

Temos:
log(|x - 1/x|) -> Sabemos que:

|x| ≥ 0 -> E temos que ter ainda:
logb => b > 0. 

Logo, |x - 1/x| > 0 -> Fazendo mmc(1,x) = x, vem:
|x²-1/x| > 0 -> Agora, vamos aplicar a definição de módulo que diz:
|a| > k => a < -k ou a > k. Logo:
|x²-1/x| > 0 -> Temos dois casos:

1º) 
x²-1/x < 0
Temos:
f(x) = x²-1
g(x) = x

I) Encontrando as raízes:
f(x) = 0 => x = -1 ou x = 1
g(x) = 0 => x = 0

Condição de Existência: x ≠ 0

No quadro de sinais:
   
               +++  - - - - - - - - - - - -   ++++
f(x)        ------0----------------------0---------
                    -1                          1
              - - - - - - - - -     +++++++++
g(x)       -----------------0--------------------
                                  0
              - - - -    ++++    - - - - -   +++++
f(x)/g(x) --------0--------0-----------0----------
                       -1         0             1

S₁ = {x ∈ IR | x < -1 ou 0 < x < 1}

2º)
x²-1/x > 0 (CE: x ≠ 0)

Da mesma forma, teremos:

              +++  - - - - - - -   +++
f(x)        ------0-------------0------
                    -1               1
              - - - - - - -   ++++++
g(x)       -------------0------------
                             0
              - - - - ++++ - - - - - +++
f(x)/g(x) -------0-----0--------0-----
                     -1      0          1

S₂ = {x ∈ IR | -1 < x < 0 ou x >1}

Logo, queremos S₁ ∪ S₂. Temos:
         ####               ####
S₁     -------0---------0-------0---------
                  -1         0         1
                     #####             ####
S₂     --------0---------0-------0-------
                  -1          0         1 
            ##### #####  ###### ####   
S₁∪S₂ --------0---------0---------0------
                   -1          0          1 

Finalmente:
S = {x ∈ IR | x ≠ 0 e x ≠ -1 e x ≠ 1}

Espero ter ajudado! :)