Question

qual a área? me ajudem por favor!​

Answer 1

Resposta: 5/3

Explicação passo-a-passo:

Questão muito longa.....

Inicialmente teremos que obter F(X) e G(X), sendo

parábola = F(X)

reta = G(X)

Observando a figura sabemos que a parábola passa pelos pontos:

(0; 4), (4; 0) e (8; 4). Como F(X) é do tipo AX² + BX + C, temos:

→ (0; 4) ⇒ F(0) = 4

0²A + 0B + C = 4 ⇒ C = 4

→ (4; 0) ⇒ F(4) = 0

4²A + 4B + 4 = 0 ⇒ 16A + 4B = - 4

→ (8; 4) ⇒ F(8) = 4

8²A + 8B + 4 = 4 ⇒ 64A + 8B = 0

16A + 4B = - 4

64A + 8B = 0          

Resolvendo esse sistema de equação, concluímos que:

A = 1/4 e B = - 2...... Escrevendo F(X)

F(X) = X²/4 - 2X + 4

Para G(X) temos 2 pontos (0; 0) e (8; 4)

G(X) = MX + N      (pois se trata de uma reta)

M = (Y₂ - Y₁)/(X₂ - X₁)

M = (4 - 0)/(8 - 0) ⇒ M = 1/2   (pelo gráfico está claro que N = 0). Escrevendo G(X)

G(X) = X/2

Precisamos do ponto de encontro das 2 curvas. Para tal basta:

F(X) = G(X)

X²/4 - 2X + 4 = X/2    (multiplicando tudo por 4)

X² - 8X + 16 = 2X     (resolvendo essa equação do 2º grau)

Os pontos de encontro sao: X = 2 e X = 8. Só nos interessa o 1º (X = 2), pois é o local hachurado.

A área será A1 + A2 (a junção de A1 com A2 é o ponto de encontro calculado acima)

→ A1 é a área do triangulo cuja base 2 e altura 1 OU integral de G(X) de 0 a 2

→ A2 nao tem jeito: integral de F(X) de 2 a 4

Fazendo tudo por integral......

A1

$\int \frac{X}{2}dX\\sabemos\ que\\\frac{1}{2}\cdot \int \:XdX\\\\\frac{1}{2}\cdot \frac{X^{1+1}}{1+1}\\\\\frac{X^2}{4}\\logo\\\int\limits^2_0 {G(X)} \, dx =2^2/4-0^2/4=1$

A1 = 1

A2

$\int \left(\frac{X^2}{4}-2X+4\right)dX\\\int \frac{X^2}{4}dX-\int \:2XdX+\int \:4dX\\\frac{1}{4}\cdot \int \:X^2dX=\frac{1}{4}\cdot \frac{X^{2+1}}{2+1}=\frac{X^3}{12}\\2\cdot \int \:XdX=2\cdot \frac{X^{1+1}}{1+1}=X^2\\\int \:4dX=4X$

$\int \left(\frac{X^2}{4}-2X+4\right)dX=\frac{X^3}{12}-X^2+4X\\\\\int\limits^4_2 {\frac{X^2}{4}-2X+4} \, dx =(4^3/12-4^2+4.4)-(2^3/12-2^2+4.2)$

A2 = 64/12 - 8/12 - 4 = 2/3

A area hachurada será A1 + A2

A1 + A2 = 1 + 2/3

A1 + A2 = 5/3