Question

(Pucsp 2017) Considere a progressão aritmética $(3, a_{2}, a_{3}, ...)$ crescente, de razão r, e a progressão geométrica $(b_{1}, b_{2}, b_{3}, 3, ...)$ decrescente, de razão q, de modo que $a_{3} = b_{3}$ e $r = 3q$. O valor de $b_{2}$ é?

Answer 1

Olá!

Dados⤵

a₃ = b₃

a₁ = 3

b₄ = 3

r = 3q

Numa PA, a fórmula do termo geral é:

aₙ = a₁ + (n - 1)r

a₃ = 3 + 2r

Já na PG, a fórmula do termo geral é:

bₙ = b₁ . qⁿ⁻¹

b₃ = b₄ / q

b₃ = 3 / q

Então concluí-se que: 3 + 2r = 3 / q

Como r = 3q, então substituímos a razão da PA por 3q.

3 + 2(3q) = 3 / q

3 + 6q = 3 / q

(3 + 6q)q = 3

3q + 6q^2 = 3

6q^2 + 3q - 3 = 0

(divide todos os membros por 3)

2q^2 + q - 1 = 0

Utilizando Bhaskara obtemos as raízes da razão da PG como:
q' = -1 (não satisfaz)

q" = 1 / 2

Como a razão é menor que 1 e maior que 0, então a PG é decrescente( 0 < q < 1)como diz a questão.

Com isso, pode-se concluir que b₂ = b₄ / q^2

b₂ = 3 / (1 / 2)^2

b₂ = 3 / (1 / 4)

b₂ = 3 . 4

b₂ = 12

Como encontramos o valor de q, então podemos encontrar o valor de r.

r = 3q

r = 3 . 1 / 2

r = 3 / 2

Para encontrar o termo que é equivalente a b₂, igualamos a fórmula do termo geral da PA com 12.

Resolução⬇

3 + (n - 1) . 3 / 2 = 12

(n - 1) . 3 / 2 = 12 - 3

n - 1 = 9 / (3 / 2)

n - 1 = 9 . 2 / 3

n - 1 = 18 / 3

n - 1 = 6

n = 7

Resposta: O segundo termo da PG é equivalente ao sétimo termo da PA.

b₂ = a₇

Caso a questão queira o valor de b₂, sem se preocupar com a equivalência desse termo com a PA.

Então b₂ = 12

Espero ter ajudado e bons estudos!

Answer 2

Resposta:

      b2  =  12

Explicação passo-a-passo:

. P.A. ( 3,  a2,  a3,... )  crescente,  razão: r   e

. P.G. ( b1,  b2,  b3,  3, ...)  decrescente,  razão: q

Tem-se:  a3  =  b3    e    r  =  3.q,      b2  =  ?

P.A.

a1 = 3,    a2  =  3 + r,     a3 =  3 + 2.r

P.G.

b4  =  3  =  b3 . q...=>  b3  =  3 / q

a3  =  b3...=>  3 + 2.r  =  3 / q       (r = 3.q)

3  +  2 . 3.q  =  3 / q

3  +  6.q  =  3 / q          

6.q  - 3 / q  +  3  =  0

( 6.q² - 3  +  3.q) / q  =  0

6.q²  +  3.q  -  3  =  0    ( divide por 3 )

2.q²  +  q  -  1  =  0      (eq 2º grau)

a = 2,  b = 1 ,  c = - 1

Delta  =  b²  -  4 . a . c  =  1² - 4 . 2 . (-1) = 1 + 8 = 9

q  =  ( - 1 + - raiz de 9 ) / 2.2  =  ( - 1 + - 3 ) / 4

q'  =  2 / 4  =  1/2       q"  =  - 4 / 4  =  - 1

r = 3.q

q = 1/2...=> r = 3 . 1/2  =>  r = 3/2  =  1,5

q = - 1....=> r  =  3 . ( - 1)..=>  r  =  - 3

Como a P.A. é crescente =>  r  =  1,5

=> r = - 3  NÃO CONVÉM.

Então:  q  =  1/2  =  0,5  

b3  =  a3  =  3 + 2 . 1,5  =  3 + 3  =  6

b2  =  b3 / q  =  6 / 0,5... =>  b2  =  12