Question

PUC – MG
Seja o conjunto A = { x, y, {x} } e as proposições:
(I) x ∈ A
(II) {x} ∈ A
(III) {x} ⊂ A
(IV) ∅ ⊂ A
A) Apenas (I) e (II) são verdadeiras
B) Apenas (II) e (IV) são verdadeiras
C) Todas as proposições são falsas
D) Todas as proposições são verdadeiras

Sei que a alternativa correta é C), gostaria de saber por quê.

Answer 1

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Dado o conjunto

$\mathsf{A=\big\{x,\,y,\,\{x\}\big\}}$

julgar as afirmações.


(I)   $\mathsf{x\in A}$   (verdadeira).

$\mathsf{x}$ é um elemento de $\mathsf{A}.$

Além deste, $\mathsf{A}$ possui mais dois elementos:   $\mathsf{y}$  e  $\mathsf{\{x\}.}$


(II)   $\mathsf{\{x\}\in A}$   (verdadeira).

$\mathsf{\{x\}}$ é elemento de $\mathsf{A}.$


(III)   $\mathsf{\{x\}\subset A}$   (verdadeira).

Seja  $\mathsf{B=\{x\}.}$  Sabemos que  $\mathsf{B\subset A}$ somente se todo elemento de  $\mathsf{B}$  também for elemento de  $\mathsf{A}.$

Mas  $\mathsf{B=\{x\}}$  é unitário, e seu único elemento é $\mathsf{x}.$

Como $\mathsf{x\in A,}$ então $\mathsf{B\subset A.}$


(IV)   $\mathsf{\varnothing\subset A}$   (verdadeira).

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.


Resposta:  alternativa D)  Todas as proposições são verdadeiras.


Bons estudos! :-)