Question

os pontos a(1;2) b(4;3) c(3;1) d(m;n) nessa ordem formam um paralelogramo. A area do paralelogramo ABCD é igual a:

Answer 1

                B.                         .D

    .                                 .                           
A                                  C
A(1, 2), B(4, 3), C(3,1) e D(m, n)

d²(AB) = d²(CD)

Perceba que yC = yA = 2 , então D(m, 2)
(yB -yA)² + (xB - xA)² = (yD - yC)² + (xD - xC)
(3 - 2)² + (4 - 1)² = (2 - 1)² + (m - 3)²
1 + 9 = 1 + m² - 6m + 9
m² - 6m = 0
m(m - 6) = 0
m = 0 ou m - 6 = 0 => m = 6

Pelo esboço do paralelogramos, D(6, 2)

$A = \frac{1}{2} \left|\begin{array}{ccccc}1&3&6&4&1\\2&1&2&3&2\\\end{array}\right| \\ \\ A=\frac{1}{2}|1.1+3.2+6.3+4.2-2.3-1.6-2.4-3.1| \\ \\ A= \frac{1}{2} (1 + 6 + 18 + 8 - 6 - 6 - 8 - 3) \\ \\ A= \frac{1}{2} |10| \\ \\ A \frac{1}{2} .10 \\ \\ A=5$

Answer 2

Iremos representar os lados do paralelogramo pelos vetores $\vec{BA}$ e $\vec{BC}$ dessa maneira a área de ABCD será igual a $|| \vec{BA}*\vec{BC}||$

$\vec{BA} = A-B = (1,2) - (4-3) = (1-4, 2-3) =\boxed{ (-3, -1)}$
$\vec{BC} = C-B = (3,1) - (4-3) = (3-4, 1-3) =\boxed{ (-1, -2)}$

Formamos uma matriz de ordem dois $A = \left[\begin{array}{cc}-3&-1\\-1&-2\end{array}\right]$ , seu determinante será calculado da seguinte forma:
Determinante de ordem dois possui uma diagonal principal e uma diagonal secundária, o cálculo desse determinante é a diferença do produto da diagonal principal com o produto da diagonal secundária.

$|| \vec{BA} * \vec{BC}|| = A = \left[\begin{array}{cc}-3&-1\\-1&-2\end{array}\right]$

$detA = -3*(-2) - (-1)*(-1) = 6-1 \boxed{detA=5}$

$|| \vec{BA} * \vec{BC}|| = detA$
$|| \vec{BA} * \vec{BC}|| = 5(u.a)$ (unidade de área)


Resposta: A área de ABCD será igual a $|| \vec{BA}*\vec{BC}||$

$\boxed{|| \vec{BA} * \vec{BC} || = 5}$