Question

prove que, se em triangulo retangulo o menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa, então seus ãngulos agudos são de 30° e 60°

Answer 1

Jesse
Nada difícil

Para melhor visualizar, esboço do sistema
Seja o triângulo retângulo ABC, reto em C

                       A
                                                             AB = h
                                                             AC = h/2
                       C                    B
                                                           Tomando ângulo ABC
                                                             AC/AB = sen ABC
                                                             sen ABC = (h/2)/h
                                                                           = 1/2
                                                             arc sen 1/2 = 30°
                                                  Sendo um dos ângulos agudos 30°, o outro
                                                  necessariamente será 60°

                                                                 DEMONSTRADO

Answer 2

Seja x o menor cateto e y,z os ângulos agudos e h a medida da hipotenusa.Temos que x=h/2.Sabemos que em um triângulo a soma dos ângulos internos resulta em 180° .Logo:

90°+y+z= 180°  => y+z = 90° => y=90°-z

Suponha t a medida do outro cateto.Pelo Teorema de Pitágoras,temos que:

h²=(h/2)²+t²
h²=h²/4 + t² => 4h²=h² + 4t² ⇒ t=(h√3)/2
Assuma t cateto oposto de y.Assim:

sen(y)=((h√3)/2)/h = √3/2 ⇒ y=60° 

Descobrindo z:

y=90°-z => z=90°-60° = 30° 

Para x cateto oposto de y,acha-se y=30°  e z=60° .