Question

Prove que, para cada natural n, (n+1)(n+2)...(2n) é divisível por 2^n

Answer 1

Entre $(n+1)$ e $2n$ temos $2n-n-1+1=n$ números, sendo $\dfrac{n}{2}$ deles pares.

Isto é, $\dfrac{n}{2}$ números com pelo menos um fator $2$

Além disso, temos $\left\lfloor\dfrac{n}{4}\right\rfloor$ números divisíveis por $4$, $\left\lfloor\dfrac{n}{8}\right\rfloor$ divisíveis por $8$, e assim sucessivamente.

Logo, a quantidade de fatores $2$ nessa expressão é:

$\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{2^2}+\dfrac{n}{2^3}+\dots=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{n}{2}\cdot\dfrac{2}{1}=n$

Portanto, $(n+1)(n+2)\dots(2n)$ é divisível por $2^n$