Question

Prove que o limite é o número indicado.

Lim 7 = 7
x → 2

Lim (2x + 1) = 9
x → 4​

Answer 1

Resposta:

• O limite de toda constante é a própria constante. Por isso, o limite de 7 com x tendendo a 2 é o próprio 7.

• Nesse outro caso, só precisa substituir o x por 4.

2x + 1 => 2.4 + 1 => 8 + 1 => 9

Answer 2

Definição formal de limite

$\lim_{x \to a}f(x)=L\Leftrightarrow\forall\epsilon>0\exists\delta>0/ \\ |f(x)-L|\textless\epsilon \\ sempre\,que\,0\textless|x-a|\textless\delta</p><p>.$

Eu vou deixar o item 1 como exercício e vou fazer o mais "complexo".

$\lim_{x \to 4}(2x+1) = 9</p><p>$

Demonstração:

tome

$\epsilon>0$.

Devemos mostrar que

$|f(x)-L|\textless\epsilon$

sempre que

$0\textless|x-a|\textless\epsilon$.

Com efeito,

$|2x+1-9|\textless\epsilon\\|2x-8|\textless\epsilon\\|2(x-4)|\textless\epsilon\\|x-4|\textless\dfrac{\epsilon}{2}$

$|x-4|\textless\delta=\dfrac{\epsilon}{2}\\2|x-4|\textless\epsilon\\|2x-8|\textless\epsilon\\|2x+1-9|\textless\epsilon$

$|(2x+1)-9|\textless\epsilon \\ \to\,\lim_{x \to 4}(2x+1) = 9 \: \: c.q.d$