Question

prove por indução que todo natural n (1+n)elevado a n maior igual que 1+n.x

Answer 1

Suponho que haja uma gralha e que se pretende provar que:
(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx, ∀n∈ℕ, com x > –1

Começamos por provar que é verdadeira para n = 1:
(1 + x)¹ = 1 + x ≥ 1 + x
Portanto, a proposição é verdadeira para n = 1

Agora supondo que a proposição é verdadeira para qualquer n, mostramos que também é para n + 1:
(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx ⇔
⇔ (1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + nx)(1 + x) ⇔
⇔ (1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + x + nx + nx² ⇔
⇔ (1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n + 1)x + nx² ≥ 1 + (n + 1)x, cqd.

Note que no 1.º passo o sentido da desigualdade mantém-se porque multiplicamos ambos os lados por 1 + x e x > –1 ⇒ 1 + x > 0, daí que a restrição em x seja necessária. No último passo, usamos que como x² ≥ 0 e n > 0, nx² ≥ 0. Como adicionamos uma quantidade não negativa, o resultado será sempre maior.

Assim, a propriedade está provada.