Question

$b) \frac{ {e}^{x} - 1 }{ {e}^{x} + 1}dx$


me ajudem por favor ​

Answer 1

$\displaystyle \int \frac{\text e^x-1}{\text e^x+1}dx$

tem uma sacada que é a seguinte :

$\displaystyle\frac{\text e^x-1}{\text e^x+1} = \frac{2.\text e^x}{\text e^x+1} - 1$

Repare que se fizer o MMC, volta a função de início.

Substituindo na integral :

$\displaystyle \int \frac{\text e^x-1}{\text e^x+1}dx = \int (\frac{2\text e^x}{\text e^x+1}-1 )dx$

Separando as integrais :

$\displaystyle \int \frac{2\text e^x}{\text e^x+1}dx-\int 1 dx$

agora é só integrar cada uma :

$\displaystyle 2.\int \frac{\text e^x}{\text e^x+1} = 2.\text ln |\text e^x+1|$

$\displaystyle \int 1 \text dx = \text x$

$\displaystyle \int \frac{2\text e^x}{\text e^x+1}dx-\int 1 dx = 2.ln|\text e^x+1| - \text x +C$

Portanto :

$\huge\boxed{\displaystyle \int \frac{\text e^x-1}{\text e^x+1}dx = 2.\text ln|\text e^x +1| - \text x + C }$