Question

Prove, por indução, que se n é impar então n²+1 é par, n≥1

Answer 1

Olá Pcardim.


Precisamos provar por indução finita que se n é impar, então a expressão (n² + 1) será sempre um número par, para n ≥ 1.


Pra resolver essa questão, é importante saber que o conjunto dos números impares é formado por (2n + 1)  $\mathsf{\forall ~n\in\mathbb{N}}$.

$\mathsf{2\cdot0 + 1 = 1}\\\\\mathsf{2\cdot1 + 1 = 3}\\\\\mathsf{2\cdot2 + 1 = 5}\\\\\mathsf{2\cdot3 + 1 = 7}\\\\...\\\\\mathsf{2n + 1 = y}$

Onde y é um número impar.

Já o conjunto dos números pares é formado por, 2n  $\mathsf{\forall~n\in\mathbb{N^*}}$

$\mathsf{2\cdot1=2}\\\\\mathsf{2\cdot2=4}\\\\\mathsf{2\cdot3=6}\\\\\mathsf{2\cdot4=8}\\\\....\\\\\mathsf{2n=z}$

Resolvendo:

Agora vamos checar se essa propriedade funciona para n = 1:

$\mathsf{1^2 + 1 = 2~~\checkmark}$


$\mathsf{(Hip\'otese~de~indu\c{c}\~ao)}\begin{cases}\mathsf{n=k~~~~k\in\mathbb{N}~|~k\geq1}\\\\\mathsf{(2k+1)^2+1}\end{cases}$


$\mathsf{(2k+1)^2+1~\Rightarrow~4k^2+2k+2k+1+1~\Rightarrow 4k^2+4k+2}\\\\\mathsf{2\cdot\underbrace{\mathsf{(2k^2+2k+1)}}}\\\mathsf{\qquad\qquad\lambda}\\\\\mathsf{2\lambda ~\gets~ conjunto~dos~n\'umeros~pares}$


Se funciona para k, deve funcionar para k + 1:


$\mathsf{[2\cdot(k+1)+1]^2+1~\Rightarrow [2k+2+1]^2+1~\Rightarrow~4k^2+6k+6k+9+1}\\\\\mathsf{4k^2+12k+10}\\\\\mathsf{2\cdot\underbrace{\mathsf{(2k^2+6k+5)}}}\\\mathsf{\qquad\qquad \lambda'}\\\\\mathsf{2\lambda'~~\checkmark}$


Portanto, se n é um número impar então a propriedade é verdadeira.


Dúvidas? comente.