Question

Prove pela definição formal de limite que $\lim_{x \to \ 2} x^2 =4$.

Answer 1

Provar, pela definição formal de limite que $\lim\limits_{x\to 2}\;x^{2}=4.$
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Queremos provar que,

para qualquer $\varepsilon>0$ dado, é possível encontrar algum $\delta>0$ ($\delta$ dependendo de $\varepsilon$), tal que para todo $x\in\mathbb{R}\,,$

Se $2-\delta<x<2+\delta$ (e $x\neq 2$) ,

então $4-\varepsilon<x^{2}<4+\varepsilon.$

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Vamos resolver a inequação $4-\varepsilon<x^{2}<4+\varepsilon$ para $x:$


$\bullet\;\;$ Caso 1. Para $0<\varepsilon<4\,,$ segue que

$\sqrt{4-\varepsilon}<\sqrt{x^{2}}<\sqrt{4+\varepsilon}\\ \\ \Leftrightarrow~\sqrt{4-\varepsilon}<|x|<\sqrt{4+\varepsilon}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Tomemos o seguinte intervalo aberto: $I=\left]\sqrt{4-\varepsilon}\,,\;\sqrt{4+\varepsilon}\right[.$

(Note que $2\in I,$ mas esse fato não nos interessa para o cálculo de limites)

De $\mathbf{(i)},$ segue que

se $x\in I\,,\;$ então $4-\varepsilon<x^{2}<4+\varepsilon.$


Tomemos $\delta=\min\!\left\{\sqrt{4+\varepsilon}-2,\;2-\sqrt{4-\varepsilon}\right\}.$ Então, segue que,
 
$\left]2-\delta,\;2+\delta\right[\subset I.$


Portanto,

$x\in \left]2-\delta,\;2+\delta\right[~\Rightarrow~x\in I~\Rightarrow 4-\varepsilon<x^{2}<4+\varepsilon$

isto é

se $2-\delta<x<2+\delta\,,$ então $4-\varepsilon<x^{2}<4+\varepsilon$

como queríamos demonstrar.


(note o fato de $x\neq 2$ ou $x=2$ não interfere em nada na última implicação acima, justamente pelo fato da função $x^{2}$ ser contínua em $2$)

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$\bullet\;\;$ Caso 2. Para $\varepsilon\geq 4:$

Sabemos que

se $0<x<\sqrt{4+\varepsilon}\,,$ então $0<x^{2}<4+\varepsilon~~~~~~\mathbf{(ii)}.$


Temos também que $4-\varepsilon\leq 0~~~~~~\mathbf{(iii)}.$


Portanto, por $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)},$ vale que

se $0< x<\sqrt{4+\varepsilon}\,,$ então

$4-\varepsilon\leq 0<x^{2}<4+\varepsilon~\Rightarrow~4-\varepsilon<x^{2}<4+\varepsilon.~~~~~~\mathbf{(iv)}$


Consideremos o seguinte intervalo aberto $I_{1}=\left]0,\;\sqrt{4+\varepsilon} \right [$ e tomemos $\delta=\min\!\left\{\sqrt{4+\varepsilon}-2,\;2\right\}.$ Dessa forma, por $\mathbf{(iv)}\,,$ segue que

$\left]2-\delta,\;2+\delta\right[\subset I_{1}$

$\Rightarrow~~$ Se $x \in \left]2-\delta,\;2+\delta\right[,\,$ então $4-\varepsilon<x^{2}<4+\varepsilon$

como queríamos demonstrar.