Question

Prove com indução matemática que n³+2n é divisivel por 3 para n>0

Answer 1

Olá.

Parte 1: Testemos para a base n = 1.

n³ + 2n = 1³ + 2.1 = 1 + 2 = 3 (V)

Parte 2: Passo indutivo. 
Suponha que 3 divide k³ + 2k(Hipótese). Assim, provemos a validade para k + 1, ou seja, 3 divide (k + 1)³ + 2 (k + 1) (Tese)

Vamos manipular a tese, que é o que não sabemos se é verdade:

$\mathsf{(k+1)^3 + 2(k+1)=}\\ \\ \mathsf{= (k^3+3k^2 +3k+ 1 )+2k+2} \\ \\ \mathsf{= (k^3 + 2k) + (3k^2 +3k+ 1+2)}\\ \\ \mathsf{= (k^3 + 2k) + 3(k^2 + k+1)}$

Porém, k³ + 2k é divisível por 3(por hipótese), e 3(k² + k + 1) é divisível por 3. Assim, fica provado que, para todo n inteiro positivo, n³ + 2n é divisível por 3.