Question

Prove a desigualdade
$( \frac{b}{a} + \frac{d}{c})( \frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \geqslant 4$
para a>0,b>0,c>0 e d>0.Determine quando ocorre a igualdade​

Answer 1

Aqui, devemos lembrar que qualquer número ao quadrado é sempre maior que ou igual a zero.

De posse disso,

$(\frac{b}{a}+\frac{d}{c})(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})\geq 4$

$(\frac{bc+ad}{ac})(\frac{ad+bc}{bd})\geq 4$

$\frac{(bc+ad)(ad+bc)}{acbd}\geq 4$

$\frac{bcad+b^2c^2+a^2d^2+adbc}{abcd}\geq 4$

$\frac{abcd+(bc)^2+(ad)^2+abcd}{abcd}\geq 4$

$abcd+(bc)^2+(ad)^2+abcd\geq 4abcd$

$(bc)^2+(ad)^2+2abcd\geq 4abcd$

$(bc)^2+(ad)^2+2abcd-4abcd\geq 0$

$(bc)^2+(ad)^2-2abcd\geq0$

$(bc)^2-2abcd+(ad)^2\geq0$

$(bc-ad)^2\geq 0$

Essa última expressão é sempre verdadeira.

A igualde ocorre:

$(bc-ad)^2=0$

$bc-ad=0$

$bc =ad$

$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$

Answer 2

Queremos provar a desigualdade

$\mathsf{\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{d}{c}\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)\geq4}$

para a>0, b>0, c>0 e d>0 e dizer quando ocorre a igualdade.

Vamos partir do lado esquerdo:

$\mathsf{\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{d}{c}\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)}=\\\\=\mathsf{\left(\dfrac{bc+ad}{ac}\right)\left(\dfrac{ad+bc}{bd}\right)}=\\\\=\mathsf{\dfrac{abcd+b^2c^2+a^2d^2+abcd}{abcd}}=\\\\=\mathsf{\dfrac{a^2d^2+b^2c^2+2abcd}{abcd}}=\\\\=\mathsf{\dfrac{(ad)^2+(bc)^2+2(ad)(bc)}{abcd}}=\\\\=\mathsf{\dfrac{(ad+bc)^2}{abcd}}$

Sabemos que a média aritmética (MA) é sempre maior do que ou igual à média geométrica (MG). Daí:

$\mathsf{\dfrac{ad+bc}{2}\geq\sqrt{(ab)(cd)}}$

Vamos elevar os dois membros da desigualdade acima ao quadrado:

$\mathsf{\dfrac{ad+bc}{2}\geq\sqrt{(ab)(cd)}}\implies\\\\\implies\mathsf{{\left(\dfrac{ad+bc}{2}\right)}^2\geq{\left(\sqrt{(ab)(cd)}\right)}^2}\implies\\\\\implies\mathsf{\dfrac{(ad+bc)^2}{4}\geq(ab)(cd)}\implies\\\\\implies\mathsf{\dfrac{(ad+bc)^2}{abcd}\geq4}$

Como

$\mathsf{\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{d}{c}\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)=\dfrac{(ad+bc)^2}{abcd}}$

e

$\mathsf{\dfrac{(ad+bc)^2}{abcd}\geq4}$

segue que

$\mathsf{\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{d}{c}\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)\geq4}$

A igualdade ocorre quando $\mathsf{ad=bc}$, pois se $\mathsf{ad=bc,}$ temos:

$\mathsf{\dfrac{(ad+bc)^2}{abcd}=\dfrac{(2ad)^2}{(ad)^2}=2^2=4}$

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