Question

preciso muito resolver este problema,e gostaria de saber passo a passo a fórmula:
a soma de dois números é 6,e a soma de seus quadrados é 68, o modulo d diferença desses dois números é
a-2 b-4 c-6 d-8 e-10

Answer 1

Números = x e y
Temos:
x + y = 6
Isolando o valor de y temos:
y = 6 - x

x² + y² = 68
Substituindo o valor de y fica:
x² + (6 - x)² = 68
x² + 36 - 12x + x² = 68
2x² - 12x - 32 = 0
Dividimos tudo por 2 para facilitar os cálculos:
x² - 6x - 16 = 0

Delta = (-6)² - 4.1.(-16)
Delta = 36 + 64
Delta = 100

x' = 6 - 10/2
x' = - 4/2 = - 2

x" = 6 + 10/2
x" = 16/2
x" = 8

Sendo X = - 2:
y = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

Sendo X = 8
y = 6 - 8 = - 2

Logo, percebemos que os números são 8 e - 2. O módulo da diferença entre esses números é:
|x - y| = |8 - (-2)| = |8 + 2| = |10|
|10| = 10

Ou:
|x - y| = | - 2 - 8| = |-10|
|-10| = 10

Conclui-se que o módulo é 10.
Letra E.

Answer 2

Sabemos que a soma de dois números x e y (incógnitos) é igual a 6, ou seja:

$\mathsf{x+y=6\qquad (i)}$

Também nos foi informado que a soma do quadrado de x com o quadrado de y é 68, o que equivale, em linguagem matemática, a:

$\mathsf{x^2+y^2=68\qquad(ii)}$

Baseado nas informações acima, o exercício deseja encontrar o valor de |x - y|, que é o módulo da diferença entre x e y. Para isso, deve-se primeiro partir de (i) e proceder da seguinte maneira:

$\mathsf{\qquad\quad\ \ \: x+y=6}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x+y)^2=6^2}$

Lembrando que (x + y)² = x² + 2xy + y², temos:

$\mathsf{\qquad\quad\: \ (x+y)^2=6^2}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+2xy+y^2=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+y^2+2xy=36}$

Agora, lembre-se também (de (ii)) que x² + y² = 68, logo:

$\mathsf{\qquad\quad~\: \underbrace{\mathsf{x^2+y^2}\!\!}_{68}\ +\,2xy=36}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 68+2xy=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=36-68}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=-32}$

Ou seja, descobrimos o valor de 2xy. Sabendo que 2xy = - 32, estamos aptos a calcular o valor de |x - y| (valor desejado), e para tal fim, vamos partir da equação (ii) e manipular algebricamente o seu primeiro membro, na tentativa de encontrar a expressão |x - y|. Portanto, ficaremos com:

$\mathsf{x^2+y^2=68}$

Sabendo que x² + y² = (x - y)² + 2xy, obtém-se:

$\mathsf{\qquad\quad \ \: \ x^2+y^2=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2+\!\underbrace{\mathsf{2xy}}_{-32}=68}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2-32=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=68+32}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=100}$

E por último, tendo em mente a propriedade √x² = |x| (x ∈ R), chega-se ao resultado final:

$\mathsf{\qquad\quad~~\:\, \sqrt{\!(x-y)^2}=\sqrt{100}}\\\\ ~\ \mathsf{\iff\quad |x-y|=10}$

Ou seja, o valor de |x - y| = |y - x| é 10.

Resposta:

$\ \large\boxed{\mathsf{|x-y|=10}}$

• Item correto: e.

Obs.: as identidades algébricas (x + y)² = x² + 2xy + y² e x² + y² = (x - y)² + 2xy são válidas para todo x e y complexos.