Question

PRECISO FATURAR O DENOMINADOR
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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Para fatorar o polinômio $x^{3} - 4x^{2} +5x-2$, devemos, primeiramente, calcular suas raízes.

As prováveis raízes de um polinômio do tipo $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ são todas as possíveis divisões entre os divisores inteiros de $d$ e os de $a$.

No caso de $x^{3} - 4x^{2} +5x-2$, $d = -2$ e $a = 1$. Assim, os divisores inteiros desses números são:

D(d) = {±1, ± 2}

D(a) = {±1}

Assim, as prováveis raízes desse polinômio são:  

• ±1/±1 = ±1

• ±2/±1 = ±2

Agora, testamos se cada um desses valores é, de fato, raiz de x, até encontrarmos algum que seja. Para isso, substituímos um por um no polinômio $P(x) = x^{3} - 4x^{2} +5x-2$ e esperamos que $P(x) = 0$:

• $P(-1) = (-1)^{3} - 4(-1)^{2} +5(-1)-2 = -12$ ≠ $0$, logo -12 não é raiz.

• $P(1) = 1^{3} - 4.1^{2} +5.1 -2 = 0$, portanto 1 é raiz.

Uma vez que já obtemos uma das raízes, podemos utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para determinar as demais.

Esse dispositivo consiste em uma tabela. Em sua primeira linha,  colocamos, nesta ordem, uma raiz conhecida e os coeficientes de cada monômio. (Ver imagem 1). Na sequência, repetimos o coeficiente dominante. (Ver imagem 2). Depois, multiplicamos esse valor pela raiz conhecida e somamos o valor obtido com o coeficiente seguinte. O resultado deve ser inserido na coluna ao lado. (Ver imagem 3). Repetimos esse processo até chegar à última coluna (Ver imagem 4).

Os valores da segunda linha correspondem aos coeficientes de um polinômio do grau imediatamente inferior (no caso, 2). (Ver imagem 5).

As raízes do polinômio obtido são, exatamente, as raízes que faltavam para o polinômio original. Dessa forma, as duas raízes de P(x) que faltavam são, justamente, as raízes de $Q(x) = x^{2} -3x + 2$, as quais são 1 e 2.

Portanto, determinamos que as raízes de $P(x) = x^{3} - 4x^{2} +5x-2$ são: $x_{1} = 1$, $x_{2} = 1$ e $x_{3} = 2$.

Com isso, podemos escrever esse polinômio como:  $P(x) = (x-1)(x-1)(x-2)$.

Em suma, a fatoração de  $x^{3} - 4x^{2} +5x-2$ corresponde a $(x-1)(x-1)(x-2)$.