Question

por qual número deve ser multiplicada a expressão √8×√2×√5 para que seja obtido um número inteiro​

Answer 1

Com base nas propriedades da radiciação, concluímos que para o resultado da expressão ser um número inteiro, precisamos multiplicar por √5.

→ A raiz quadrada de um número x, é resolvida quando encontramos outro número que multiplicado por ele mesmo tem como produto = x.

   Exemplo: √9 = 3, pois  3 . 3 = 9

→ Para simplificar uma raiz, em especial as não exatas, precisamos fatorar o radicando (o número que estamos extraindo a raiz) em números primos.

  ⇒ A partir daí, agrupamos, os primos iguais, de acordo com o índice da raiz, ou seja:

    . Para raiz quadrada ⇒ agrupamento de primos = Dois em dois;

    . Para raiz cúbica ⇒ agrupamento de primos = Três em três.

⇒ Isso é feito para podermos "cortar" o índice da raiz com o expoente

Vamos então verificar a expressão dada:

$\large \sqrt{8} ~\times ~\sqrt{2} ~\times ~\sqrt{5}$

Podemos simplificar essa √8:

$\large \sqrt{8} = \sqrt{2\cdot2\cdot 2}$

$\large \sqrt{8} = \sqrt{2^2 \cdot 2}$

$\large \text { \sqrt{8} = \sqrt[\backslash\!\!\!2]{2^{\backslash\!\!\!2}} ~\cdot~ \sqrt[2]{2} }$

$\large \sqrt{8} = 2~\cdot~ \sqrt[2]{2}$

Substituindo esse valor na expressão, teremos:

$\large \sqrt{8} ~\cdot ~\sqrt{2} ~\cdot ~\sqrt{5}$

$\large 2\sqrt{2} ~\cdot ~\sqrt{2} ~\cdot ~\sqrt{5}$

Agora multiplicamos os dois primeiros termos:

$\large 2(\sqrt[\backslash\!\!\!2]{2})^{\backslash\!\!\!2} ~\cdot ~\sqrt{5}$

$\large 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$

$\large 4 \cdot \sqrt{5}$    

Esse é o resultado da expressão.

Para obtermos um número inteiro, é fácil verificar que basta multiplicarmos por √5

$\large 4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$

$\large 4 \cdot (\sqrt[\backslash\!\!\!2]{5})^{\backslash\!\!\!2}$

$\large 4 \cdot 5 = \boxed{20 } \implies Numero ~inteiro$

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