Question

Por favor preciso de ajuda.
Utilizando os conhecimentos de derivadas podemos resolver problemas com aplicações em Física. Seja um corpo em movimento retilíneo obedecendo a função s(t) = 2t³ – 21t² + 60t + 3 com espaço em metros e tempo em segundos, determinar:

(A) O instante (ou instantes) em que o móvel tem velocidade nula (pára);

(B) A aceleração do móvel quando t = 4,5s.

Marque a opção correta.


(1/2 , 4)


(1/2 , 1/4)


(1 , 4)


(2 , 1)


(2 , 1/4)

Answer 1

A equação horária que fornece a posição do móvel em função do tempo é

$s\left(t \right )=2t^{3}-21t^{2}+60t+3$


$\bullet\;\;$ A velocidade $v$ é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Então,

$v\left(t \right )=\dfrac{ds}{dt}\\ \\ v\left(t \right )=\dfrac{d}{dt}\left(2t^{3}-21t^{2}+60t+3 \right )\\ \\ v\left(t \right )=3\cdot 2t^{3-1}-2\cdot 21t^{2-1}+60+0\\ \\ v\left(t \right )=6t^{2}-42t+60$


$\bullet\;\;$ A aceleração $a$ é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Logo,

$a\left(t \right )=\dfrac{dv}{dt}\\ \\ a\left(t \right )=\dfrac{d}{dt}\left(6t^{2}-42t+60 \right )\\ \\ a\left(t \right )=2\cdot 6t^{2-1}-42+0\\ \\ a\left(t \right )=12t-42$


(A) O instante onde a velocidade é nula:

$v\left(t \right )=0\\ \\ 6t^{2}-42t+60=0\\ \\ 6\cdot \left(t^{2}-7t+10 \right )=0\\ \\ t^{2}-7t+10=0\\ \\ t^{2}-2t-5t+10=0\\ \\ t\cdot \left(t-2 \right )-5\cdot \left(t-2 \right )=0\\ \\ \left(t-2 \right )\cdot \left(t-5 \right )=0\\ \\ t-2=0\;\;\text{ ou }\;\;t-5=0\\ \\ t=2\text{ s}\;\;\text{ ou }\;\;t=5\text{ s}$

Logo, a velocidade é nula nos instantes

$t=2\text{ s}\;\;\text{ e }\;\;t=5\text{ s}$


(B) A aceleração no instante $t=4,5\text{ s}$

$a\left(4,5 \right )=12\cdot \left(4,5 \right )-42\\ \\ a\left(4,5 \right )=54-42\\ \\ a\left(4,5 \right )=12\,\mathrm{ m/s^{2}}$

Answer 2

(A)
$v(t)= \dfrac{ds}{dt} = \dfrac{d(2t^{3} - 21t^{2} + 60t + 3)}{dt} =2.3.t^{2} - 21.2.t^{1} + 60 + 0$$=6t^{2} - 42t + 60$

$v(t)=0$  ⇒  $6t^{2} - 42t + 60=0$  $\div6$

$t^{2} - 7t + 10=0$

$(t-2).(t-5)=0$

$t-2=0$  ⇒  $t=2s$
ou
$t-5=0$  ⇒  $t=5s$

$\text{O m\'ovel para nos instantes t=2s e t=5s.}$

(B)
$a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d(6t^{2} - 42t + 60)}{dt}=6.2.t^{1} - 42 + 0=12t-42$

$a(4,5)=12.(4,5)-42=54-42=12m/ s^{2}$

Obs.: Creio que as opções estejam erradas.