Question

Por favor, me ajudem

Answer 1

Resposta:

π/2

Explicação passo-a-passo:

$|f(x) - \arccos(x)| \leq x^2\sin^2(1/x) \Rightarrow\\\Rightarrow  -x^2\sin^2(1/x) \leq f(x) - \arccos(x) \leq x^2\sin^2(1/x) \Rightarrow\\\Rightarrow  -x^2\sin^2(1/x) + \arccos(x) \leq f(x) \leq x^2\sin^2(1/x) + \arccos(x)$

Agora, vamos definir o seguinte:

$\left \{ {{g(x) = -x^2\sin^2(1/x) + \arccos(x)} \atop {h(x) = +x^2\sin^2(1/x) + \arccos(x)}} \right$

Assim, podemos reescrever a desigualdade da seguinte forma:

$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$

Agora vamos analisar como os termos de h(x) e g(x) se comportam quando x tende a 0.

$\lim_{x \to 0} x^2\sin^2(1/x) = 0$

Isso ocorre pois, apesar de o termo dentro do seno tender ao infinito, seno é uma função limitada, ou seja, qualquer valor que ela assume está no intervalo [-1, 1]. Sendo assim, qualquer número desse intervalo multiplicado por um número que tende a 0, vai tender a 0.

Além disso, temos:

$\lim_{x \to 0} \arccos(x) = arccos(0) = \pi/2$

Sendo assim:

$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0}[-x^2\sin^2(1/x) + \arccos(x)] \Rightarrow\\\Rightarrow  \lim_{x \to 0} g(x) = -\lim_{x \to 0}[x^2\sin^2(1/x)] + \lim_{x \to 0}[\arccos(x)] \Rightarrow\\\Rightarrow  \lim_{x \to 0} g(x) = \pi/2$

Repetindo o mesmo raciocínio para h(x):

$\lim_{x \to 0} h(x) = \lim_{x \to 0}[x^2\sin^2(1/x) + \arccos(x)] \Rightarrow\\\Rightarrow  \lim_{x \to 0} h(x) = \lim_{x \to 0}[x^2\sin^2(1/x)] + \lim_{x \to 0}[\arccos(x)] \Rightarrow\\\Rightarrow  \lim_{x \to 0} h(x) = \pi/2$

Voltando na desigualdade:

$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$

E como:

$\lim_{x \to 0}g(x) = \lim_{x \to 0} h(x) = \pi/2$

Pelo Teorema do Confronto:

$\lim_{x\to 0}f(x) = \pi/2$