Question

POR FAVOR AJUDA PELO AMOR DE DEUS
Uma função f de variável real satislaz a condição F(x+1)= f(x) + f(1)
qualquer que seja e valor da variável x. Sabendo que F(2)=1, determine o valor de F(5)
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá!

Para este exercício, podemos atribuir valores de X e verificar um determinado padrão ou "melhorar" a função dada. Eu vou usar a segunda opção, a de "melhorar" a função dada.

Vamos atribuir valores para x para observar o comportamento da equação funcional.

f(x+1) = f(x) + f(1)

Quando x recebe x-1, ou seja, x = x-1, a função fica:

f( (x-1) + 1) = f(x-1) + f(1)

f(x) = f(x-1) + f(1)

Consegue perceber algum padrão? Espero que tenha percebido que a função acima tem o formato de uma Progressão Aritmética (PA), pois a cada termo f(x), somamos uma constante f(1) com o termo f(x-1).

Seria como se tivéssemos:

f(x) = an

f(x-1) = an-1

f(1) = r (razão da PA)

f(x) = f(x-1) + f(1)

an = an-1 + R

Com isso, basta buscarmos termos que nos ajudem a resolver a PA.

Como o enunciado forneceu f(2) = 1, uma boa estratégia seria substituir x = 2 na função encontrada.

f(x) = f(x-1) + f(1)

f(2) = f(2-1) + f(1)

f(2) = f(1) + f(1)

f(2) = 2.f(1)

1 = 2.f(1)

f(1) = 1/2

Assim, sabemos que temos uma Progressão Aritmética de razão 1/2 e de primeiro termo 1/2 também.

Montando o termo geral da PA:

an = a1 + (n-1).R

an = 1/2 + (n-1).1/2

an = [ 1 + (n-1)]/2

an = n/2

Como an = f(x), podemos simplificar a função, deixando-a MUITO mais fácil.

an = n/2

f(x) = x/2

Agora, basta substituir o valor que quisermos na função.

Para x = 5 (pedido pelo enunciado):

f(5) = 5/2