Question

Pfv preciso de reforço nessa questao: Para a função definida por (imagem anexada)
onde a diferente de b, determine o valor de a + b para o qual existe o limite da funçao f em x=0

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = \begin{cases} \sf \frac{e {}^{ax} - e {}^{bx} }{sen(a {}^{2}x) - sen(b { }^{2}x) } \: se \: x \ \neq \: 0 \\ \sf \frac{1}{8} \: se \: x = 0\end{cases}$

Para encontrarmos o valor de a + b, vamos utilizar as condições para que uma função seja contínua. São elas:

• 1) A função deve ser definida;
• 2) Os limites laterais da função devem ser iguais;
• 3) A função no tal ponto de análise deve ser igual ao limite bilateral.

Tendo dito isto, vamos iniciar os cálculos.

• Condição 1:

Observe que pela função fornecida, podemos ver que a função é sim definida quando x = 0, logo podemos dizer que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \sf f(0) = \frac{1}{8}$

• Condição 2:

Organizando os limites laterais temos:

$\sf \lim_{x\to0 {}^{ + } }\frac{e {}^{ax} - e {}^{bx} }{sen(a {}^{2}x) - sen(b { }^{2}x) } = \lim_{x\to0 {}^{ - } }\frac{e {}^{ax} - e {}^{bx} }{sen(a {}^{2}x) - sen(b { }^{2}x) }$

Certamente se substituirmos o valor a qual o x tende, que é 0, geraremos uma indeterminação do tipo 0/0, por este motivo vamos utilizar a regra de L'Hôpital para esta resolução. Esta regra nos diz que em casos como este abaixo, podemos utilizar a derivada:

$\underbrace{\sf \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \: \: ou \: \: \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}}_{ \sf \lim_{x\to a} \frac{ \frac{d}{dx}(f(x)) }{ \frac{d}{dx} (g(x))} }$

Aplicando esta regra no nosso limite, vamos ter que a derivada do denominador e do numerador é igual a:

$\sf \frac{ \frac{d}{dx} (e {}^{ax} - e {}^{bx} ) }{ \frac{d}{dx} (sen(a {}^{2} x) - sen(b {}^{2}x)) } \: \: \to \: \: \frac{ae {}^{ax} - be {}^{bx} }{a {}^{2} cos(a {}^{2} x) - b {}^{2}cos(b {}^{2} x) }$

Substituindo esta expressão no local da anterior:

$\sf \lim_{x\to0 {}^{ + } }\frac{ae {}^{ax} - be {}^{bx} }{a {}^{2} cos(a {}^{2} x) - b {}^{2}cos(b {}^{2} x) } = \lim_{x\to0 {}^{ - } }\frac{ae {}^{ax} - be {}^{bx} }{a {}^{2} cos(a {}^{2} x) - b {}^{2}cos(b {}^{2} x) }$

Substituindo o valor a qual x tende, temos:

$\sf \lim_{x\to0 {}^{ + } }\frac{ae {}^{a.0} - be {}^{b.0} }{a {}^{2} cos(a {}^{2} .0) - b {}^{2}cos(b {}^{2} .0) } = \lim_{x\to0 {}^{ - } }\frac{ae {}^{a.0} - be {}^{b.0} }{a {}^{2} cos(a {}^{2} .0) - b {}^{2}cos(b {}^{2} .0) } \\ \\ \sf \lim_{x\to0 {}^{ + } } \frac{a {e}^{0} - be {}^{0} }{a {}^{2}cos(0) - b {}^{2}cos(0) } = \lim_{x\to0 {}^{ - } } \frac{a {e}^{0} - be {}^{0} }{a {}^{2}cos(0) - b {}^{2}cos(0) } \\ \\ \sf \lim_{x\to0 {}^{ + } } \frac{a .1- b.1}{a {}^{2} .1- b {}^{2}.1 } = \lim_{x\to0 {}^{ - } } \frac{a - b}{a {}^{2} .1- b {}^{2}.1 } \\ \\ \sf \lim_{x\to0 {}^{ + } } \frac{a- b}{ {a}^{2}- b {}^{2} } = \lim_{x\to0 {}^{ - } } \frac{a- b}{a {}^{2}- b {}^{2} } \\ \\ \sf \lim_{x\to0 {}^{ + } } \frac{ \cancel{a - b}}{ \cancel{(a - b)}.(a + b)} = \sf \lim_{x\to0 {}^{ - } } \frac{ \cancel{a - b}}{ \cancel{(a - b)}.(a + b)} \\ \\ \sf \lim_{x\to0 {}^{ + } } \frac{1}{a + b} = \lim_{x\to0 {}^{ - } } \frac{1}{a + b}$

Como a e b são constantes e o limite de uma constante é a própria constante, então:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \frac{1}{a + b} = \frac{1}{a + b} }$

Podemos dizer então que os limites laterais são sim iguais.

• Condição 3:

A função definida em x = 0 deve ser igual ao limite bilateral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf f (0) = \lim_{x\to0} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\sf \frac{1}{8} = \frac{1}{a + b} \: \: \to \: \: a + b = 8}$

Espero ter ajudado