Question

Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido antihorário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A´, B ´, C ´ e D´, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA´ , BB ´ ,CC ´ e DD ´ . Dado que AB=4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB´C´; c) quadrilátero A´B´C´D´.

#FUVEST

Answer 1

a) A área do quadrilátero ABCD é 12.

b) O triangulo BB'C' tem área 12

c) O quadrilátero A'B'C'D' tem área igual a 60.

A) Podemos obter a área de ABCD ao tomar os dados do texo.

A distância AB mede 4 e a distância de D até a reta AB mede 3 e é perpendicular a AB.

portanto a área será o produto dessas duas retas perpendiculares.

Então teremos 3*4=12.

Para as duas letras a seguir, precisamos traçar retas auxiliares (ver figura).

B) Assim vemos claramente que o triangulo BB'C' tem área 12 por que BB' = AB'=4 e BC' = 2*AD'. Assim, a distancia de C' até a reta BB' será o dobro da distancia entre o ponto D e a reta AB.

E por ser um triangulo, a área será $\frac{1}{2}$4*(2*3)=4*3=12

Outra forma de pensar é que o quadrilátero BB'G'C' equivale a dois quadriláteros ABCD.

E ao traçar o triangulo, estaos tomando a metade dessa área.

assim temos $\frac{1}{2}$*2*ABCD.

C)  Com a figura traçada podemos ver facilmente que que a área de A'B'C'D' será 5 vezes a área de ABCD.

Isto acontece porque temos 4 triangulos com a mesma área de BB'C' e também o quadrilátero ABCD (que também tem a mesma medida de área).

Portanto basta somar estas figuras e encontranos 5 quadrados de área igual a 12