Question

Pedro possui três parentes, João, José e Maria, cujas idades
formam uma progressão geométrica. João é o mais
novo, e Maria é a mais velha.
Se o produto das idades dos três parentes de Pedro é
1.728, qual é a idade de José? ​

Answer 1

Seja João o 1° termo da PG  (a1), José, o 2° (a₂) e Maria, o 3° (a₃), temos:

$\boxed{a_1~.~a_2~.~a_3~=~1728}$

Podemos, no entanto, escrever o 2° e o 3° termo da PG em função do 1° termo e da razão utilizando a equação do termo geral:

$\boxed{a_n~=~a_1~.~q^{n-1}}\\\\\\\\a_2~=~a_1~.~q^{2-1}\\\\\boxed{a_2~=~a_1~.~q}\\\\\\a_3~=~a_1~.~q^{3-1}\\\\\boxed{a_3~=~a_1~.~q^2}$

Substituindo na equação, temos:

$a_1~.~(a_1~.~q)~.~(a_1~.~q^2)~=~1728\\\\\\a_1^{\,3}~.~q^3~=~1728\\\\\\(a_1~.~q)^3~=~1728\\\\\\a_1~.~q~=~\sqrt[3]{1728}\\\\\\\boxed{a_1~.~q~=~12}$

Sabemos que José é o 2° termo da PG e que o 2° termo é igual a (a1 . q), logo concluímos que José tem 12 anos.