Question

Para se divertir, alguém(pode ser o Dexter :P) dá uma força ai.

Answer 1

Aparentemente essa diferença aí é quando as bolinhas entram em contato... enfim, vamo lá.

i) Vamos analisar o encontro das duas bolinhas horizontal e verticalmente. Para isso, vamos encontrar as equações horárias de cada uma dessas componentes. (Só vou jogar o resultado aqui, nada de me alongar muito)

Para a bolinha 1
$d_1=v_0\cos\theta_1.t_1$

Para a bolinha 2
$d_2=v_0\cos\theta_2.t_2$

No momento do encontro:
$d_1=d_2 \Rightarrow v_0\cos\theta_1.t_1=v_0\cos\theta_2.t_2 \Rightarrow \boxed{t_1=t_2.\frac{\cos\theta_2}{\cos\theta_1}}$

ii) Assim, do nada, vamos calcular o valor de $t_1+t_2$:
$t_1+t_2=t_2\left( \frac{\cos\theta_2}{\cos\theta_1}+1 \right) \\ \\ \boxed{t_1+t_2 = \frac{t_2(\cos\theta_1+\cos\theta_2)}{\cos\theta_1}}$

iii) Vamos analisar as coisas verticalmente agora: (de novo, só vou jogar aqui as equações)

Para a bolinha 1:
$h_1=v_0\sin\theta_1.t_1-\frac{gt_1^2}{2}$

Para a bolinha 2:
$h_2=v_0\sin\theta_2.t_2-\frac{gt_2^2}{2}$

No instante da colisão:
$h_1=h_2 \Rightarrow v_0\sin\theta_1.t_1-\frac{gt_1^2}{2}=v_0\sin\theta_2.t_2-\frac{gt_2^2}{2} \\ \\ \frac{g}{2}(t_1^2-t_2^2)=v_0(\sin\theta_1.t_1-\sin\theta_2.t_2) \\ \\ \mathrm{Substituindo \ o \ valor \ de \ t_1 \ no \ segundo \ membro} \\ \\ (t_1+t_2)(t_1-t_2)=\frac{2v_0}{g}\left( \sin\theta_1.\frac{t_2\cos\theta_2}{\cos\theta_1}-\sin\theta_2.t_2 \right)$

Simplificando o segundo membro e substituindo $t_1+t_2$:

$(t_1-t_2)\frac{t_2(\cos\theta_1+\cos\theta_2)}{\cos\theta_1}=\frac{2v_0}{g}.\frac{t_2}{\cos\theta_1}(\sin\theta_1.\cos\theta_2-\sin\theta_2.\cos\theta_1) \\ \\ \boxed{\boxed{t_1-t_2=\frac{2v_0}{g}\left( \frac{\sin(\theta_1-\theta_2)}{\cos\theta_1+\cos\theta_2} \right) }}$