Question

Para que valores de n o desenvolvimento de (2x²−1/x³)^n possui um termo independente de x?
​

Answer 1

Resposta:

n = {5, 10, 15, ...}

Explicação passo a passo:

O desenvolvimento tem sempre o produto dos fatores $(2x^{2} )^{p} . (-\frac{1}{x^{3}})^{n-p}$ com p variando de 0 a n.

Vamos encontrar o expoente de x geral desse produto:

$(2x^{2} )^{p} . (-\frac{1}{x^{3}})^{n-p} = 2^{p} x^{2p} . (-x^{-3})^{n-p} \\\\(2x^{2} )^{p} . (-\frac{1}{x^{3}})^{n-p} = 2^{p}.x^{2p} . (-x)^{-3n+3p}\\\\\(2x^{2} )^{p} . (-\frac{1}{x^{3}})^{n-p} = 2^{p}. (-x)^{2p-3n+3p} \\\\(2x^{2} )^{p} . (-\frac{1}{x^{3}})^{n-p} = 2^{p}. (-x)^{5p-3n}$

Assim, o expoente de x do desenvolvimento é 5p-3n.

Para que haja um termo independente, o expoente de x deve ser zero. Para isso, temos:

5p - 3n = 0

n = 5p/3

n = 5 . (p/3)

Com n e p inteiros, temos que os valores de n que satisfazem essa igualdade são p = múltiplo de 3, e n = múltiplo de 5.

n = {5, 10, 15, ...}

Espero ter ajudado :)