Question

Para que o sistema equações

$x {}^{2} - 6x + y {}^{2} + 8y = 24 \\ \\ x {}^{2} + y {}^{2} = k$

Para que o sistema de equações
tenha, pelo menos, uma solução real, o valor da constante k deve
satisfazer a condição

A) 2<=k<=12
B)4 <=k <= 12.
C) 4 <=k <=144.
d) k<4 ou k > 144
e) k<2 ou k > 12.

Por favor...​

Answer 1

A estrutura de ambas as equações são referentes à circunferência, então o que eu pensei:

Se a soma dos raios for igual à distância dos centros, só haverá uma solução.

Se a soma dos raios for menor que a soma dos centros, então sem solução

Entretanto, há a possibilidade de uma circunferência estar contida dentro da outra, por isso, primeiramente irei conferir se a distância do raio da primeira chega até o centro da circunferência da segunda.

x² - 6x + 9 + y² + 8y + 16 = 49

(x - 3)² + (y + 4)² = 7²

Temos então, que o centro é (3, -4) e o raio é 7.

A distância entre o centro das circunferências então é 5 (Distância entre dois pontos).

Mas o raio é 7! Portanto o raio da segunda ultrapassa e muito o centro da outra circunferência, logo, para que aja uma solução já podemos tirar a seguinte conclusão.

√k ≥ 2

k ≥ 4

Entretanto, há uma outra restrição, caso k seja muito grande, ele pode acabar circunscrevendo a outra circunferência, assim não havendo solução, para isso não ocorrer, √k não pode ser maior que a soma do raio da outra circunferência mais a distância entre os centros, logo:

√k ≤ 5 + 7

√k ≤ 12

k ≤ 144

Logo.

4 ≤ k ≤ 144

C