Question

Para qual valores reais de k a equação x²+4x+k-16=0, tem raízes reais distintas

Answer 1

Sendo ela uma equação do segundo grau, para ter raízes distintas o seu delta deve ser maior que 0:

$\Delta \ \textgreater \ 0 \Rightarrow \ \ b^2-4\cdot a\cdot c\ \textgreater \ 0$

Como o número 'k' não depende de x ele faz parte do parâmetro 'c':

$4^2-4\cdot 1\cdot (k-16)\ \textgreater \ 0 \\ 16-4(k -16) \ \textgreater \ 0 \\ 16 -4k+64 \ \textgreater \ 0 \\ 80 - 4k \ \textgreater \ 0\\ 80\ \textgreater \ 4k \Rightarrow \ \ k\ \textless \ 20 \\ \\ \therefore \boxed{\{k \in \Re \ | \ k\ \textless \ 20\}}$

Answer 2

para ter raízes distintas seu ∆ tem que ser maior que zero
∆>0
b^2-4.a.c>0
4^2-4.1.(k-16)>0
16-4k+64>0
-4k>-16-64
-4k>-80 multiplica por -1 e inverta o intervalo
+4k<+80
k<80/4
k<20