Question

Na loteria são sorteados 5 dezenas distintas dentre as dezenas 00, 01, 02, 03, ..., 99. Um apostador escolhe 10 dezenas. Determine a probabilidade dele fazer:
a) Um terno b) Uma quadra c) A quina

Answer 1

Boa noite!

Temos então um total de 100 números e são sorteadas 5 dezenas.
Apostamos 10 dezenas.
a) um terno:
$\displaystyle{\frac{\binom{10}{3}\binom{100-10}{5-3}}{\binom{100}{5}}}\\ \displaystyle{\frac{\frac{10!}{3!(10-3)!}\frac{90!}{2!(90-2)!}}{\frac{100!}{5!(100-5)!}}}\\ \displaystyle{\frac{120\cdot{4005}}{75287520}}\\ \displaystyle{\frac{480600}{75287520}}\\ \displaystyle{\approx{\frac{1}{157}}}$

b) uma quadra:
$\displaystyle{\frac{\binom{10}{4}\binom{100-10}{5-4}}{\binom{100}{5}}}\\ \displaystyle{\frac{\frac{10!}{4!(10-4)!}\frac{90!}{1!(90-1)!}}{\frac{100!}{5!(100-5)!}}}\\ \displaystyle{\frac{210\cdot{90}}{75287520}}\\ \displaystyle{\frac{18900}{75287520}}\\ \displaystyle{\approx{\frac{1}{3983}}}$

c) a quina:
$\displaystyle{\frac{\binom{10}{5}\binom{100-10}{5-5}}{\binom{100}{5}}}\\ \displaystyle{\frac{\frac{10!}{5!(10-5)!}\frac{90!}{0!(90-0)!}}{\frac{100!}{5!(100-5)!}}}\\ \displaystyle{\frac{252\cdot{1}}{75287520}}\\ \displaystyle{\frac{252}{75287520}}\\ \displaystyle{\approx{\frac{1}{298760}}}$

Espero ter ajudado!

Answer 2

Em uma loteria onde são sorteados 5 dezenas entre 00 a 99, a probabilidade de um apostador obter um terno, uma quadra e uma quina são respectivamente iguais a 6,33%, 0,249% e 0,003321%.

Combinações

A seguinte fórmula é utilizada para calcular a combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n):

$C n,p = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$

Na questão, a loteria possuí 100 algarismos disponíveis distintos de 00 até 99.

Logo, como são 5 dezenas sorteadas o número de combinações possíveis é igual a uma combinação simples de 100 elementos tomados 5 a 5:

$C 100,5 = \dfrac{100!}{5!(100-5)!}= \dfrac{100.99.98.97.96.95!}{5!.95!}\\\\\\C 100,5 = \dfrac{100.99.98.97.96!}{5.4.3.2.1}=\dfrac{9034502400 }{120}\\\\\\C 100,5 =75287520$

Ou seja, exitem 7587520 combinações possíveis!

A probabilidade de ocorrer um evento qualquer é dada por:

$P(E)=\dfrac{q}{Q}$

Sendo:

• q = o número de resultados a favor
• Q = quantidade total de resultados possíveis

Letra A)

Das 10 dezenas selecionadas pelo apostador a hipótese de 3 estarem corretas é igual a uma combinação simples de 10 elementos tomados 3 a 3:

$C 10,3 = \dfrac{10!}{3!(10-3)!}= \dfrac{10.9.8.7!}{3!.7!}\\\\\\C 10,3 = \dfrac{10.9.8}{3.2.1}=\dfrac{720}{6}\\\\\\C 10,3 =120$

Exitem 120 combinações possíveis!

Das 90 dezenas não selecionadas pelo apostador a hipótese de 2 estarem corretas é igual a uma combinação simples de 90 elementos tomados 2 a 2:

$C 90,2 = \dfrac{90!}{2!(90-2)!}= \dfrac{90.89.88!}{2!.88!}\\\\\\C 90,2 =\dfrac{90.89}{2.1}=\dfrac{8010}{2}\\\\\\C 90,2 =4005$

Exitem 4005 combinações possíveis!

Logo a probabilidade de se obter um terno é igual a:

$P=\dfrac{C_{10,3}.C_{90,2}}{C_{100,5}}=\dfrac{120.4005}{7587520}\\\\\\P=\dfrac{480600}{7587520}=0,06334~ou~6,33\%$

Letra B)

Das 10 dezenas selecionadas pelo apostador a hipótese de 4 estarem corretas é igual a uma combinação simples de 10 elementos tomados 4 a 4:

$C 10,4 = \dfrac{10!}{4!(10-4)!}= \dfrac{10.9.8.7.6!}{3!.6!}\\\\\\C 10,4 = \dfrac{10.9.8.7}{4.3.2.1}=\dfrac{5040}{24}\\\\\\C 10,4 =210$

Exitem  210 combinações possíveis!

Das 90 dezenas não selecionadas pelo apostador a hipótese de 1 estarem corretas é igual a uma combinação simples de 90 elementos tomados 1 a 1:

$C 90,2 = \dfrac{90!}{1!(90-1)!}= \dfrac{90.89!}{1!.89!}\\\\\\C 90,1 =\dfrac{90}1}\\\\\\C 90,2 =90$

Exitem 90 combinações possíveis!

Logo a probabilidade de se obter uma quadra é igual a:

$P=\dfrac{C_{10,4}.C_{90,1}}{C_{100,5}}=\dfrac{210.90}{7587520}\\\\\\P=\dfrac{18900}{7587520}=0,002490~ou~0,249\%$

Letra C)

Das 10 dezenas selecionadas pelo apostador a hipótese de 5 estarem corretas é igual a uma combinação simples de 10 elementos tomados 5 a 5:

$C 10,5 = \dfrac{10!}{5!(10-5)!}= \dfrac{10.9.8.7.6.5!}{5!.5!}\\\\\\C 10,5 = \dfrac{10.9.8.7.6}{5.4.3.2.1}=\dfrac{30240}{120}\\\\\\C 10,5 =252$

Exitem 252 combinações possíveis!

Das 90 dezenas não selecionadas pelo apostador a hipótese de 0 estarem corretas é igual a uma combinação simples de 90 elementos tomados 0 a 0:

$C 90,0 =\dfrac{90!}{0!(90-0)!}= \dfrac{90}{0!.90!}\\\\\\C 90,0 =1$

Exitem 1 combinação possível!

Logo a probabilidade de se obter uma quinaé igual a:

$P=\dfrac{C_{10,5}.C_{90,0}}{C_{100,5}}=\dfrac{252.1}{7587520}\\\\\\P=\dfrac{252}{7587520}0,00003321~ou~0,003321\%$

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