Question

para construir uma calçada contornando uma casa, fora necessarios 96 m² de lajotas.
sabendo que toda a calçada tera a mesma largura e que as dimensoes da casa sao 8 m 12 m , qual a lagura da calçada que sera construida?

Answer 1

A área total de lajotas pode ser equacionada da seguinte maneira:

Chamando de 'L' a largura da calçada:

A = 96 = 8*L*2 + 12*L*2 + 4*L²

Essa é uma equação do segundo grau. Organizando e unindo os termos comuns temos que:
4*L² + 40*L -96 = 0, com
a = 4, b = 40 e c = -96

Utilizando a teoria da soma e produto das raízes de uma equação do segundo grau:
Soma = -b/a = -40/4 = -10
Produto = c/a = -96/4 = -24

Considerando que o produto das raízes é negativo (-24), temos que uma raiz é positiva e a outra é negativa e sua soma é igual a -10.

Os números que satisfazem a essas condições são -12 e +2, pois
-12+2 = -10
-12*2 = -24.

Assim, -12 e +2 são as raízes da equação montada.
Cabe lembrar que o método tradicional para encontrar as raízes seria utilizar a fórmula de Bhaskara. Apenas preferi utilizar o método de soma e produto por ser mais simples nesse caso.

Como a largura da calçada não pode ser negativa... Temos que L só pode ser igual a 2.
Assim, a largura da calçada será de dois metros.

Answer 2

Para resolver este problema, suponha que a casa seja um retângulo ABCD, onde
AB = 8m
BC = 12m
CD = 8m
DA = 12m

A partir daí, pode-se concluir que 
AB = CD = 8 (chamaremos estes lados menores da casa de X)
BC = DA = 12 (chamaremos estes lados maiores da casa de Y)

Temos que a área da casa é dada pelo produto do lado X pelo lado Y.
X*Y=12*8=96

Agora, chamaremos a largura da calçada de Z.
Vamos então, calcular a área total da superfície ocupada pela casa juntamente com a calçada.
(X+2Z)*(Y+2Z) = X*Y+96
XY+2ZX+2ZY+4Z²=XY+96

SIMPLIFICANDO...
XY-XY+2ZX+2ZY+4Z²=96
2ZX+2ZY+4Z²=96
2Z(X+Y+2Z)=96
Z(X+Y+2Z)=96/2=48
Z(X+Y+2Z)=48

CONHECEMOS OS VALORES DE "X" E DE "Y", DADOS NO PROBLEMA. BASTA SUBSTITUIR:
Z(8+12+2Z)=48
Z(20+2Z)=48
Z(2(10+Z))=48
2Z(10+Z)=48
Z(10+Z)=48/2=24
10Z+Z²=24
Z²+10Z-24=0

Resolvendo a equação do segundo grau, encontraremos "Z", que é o valor da largura da calçada:

$Z=\frac{-10\pm \sqrt{10^2-4*1*-24} }{2*1}$
$Z=\frac{-10\pm \sqrt{196} }{2}$
$Z=\frac{-10\pm 14 }{2}$

$Z'=\frac{-10+ 14 }{2}$
$Z'=\frac{4}{2}=2$
OU
$Z''=\frac{-10- 14 }{2}$
$Z''=\frac{-24}{2}=-12$ 

Como Z deve ser um valor positivo, Z'' não nos interessa.
RESPOSTA: Portanto a largura da calçada/varanda é de 2m

Anexei uma imagem para auxiliar na interpretação do problema