Question

Dois vértices de um triângulo equilátero são (-1,1) e (3,1). Determine as coordenadas do terceiro vértice.

Answer 1

Seja A=(-1,1) , B=(3,1) e C(x0, y0) o terceiro vértice procurado. A distância AB é dada por dAB = √(-1-3)² + (1-1)² = √(-4)² + 0² = √4² = 4 ⇒ dAB = 4

Logo, o lado AB do triângulo ABC equilátero mede 4 e portanto, os demais lados AC e BC também medem 4.

A reta AB é pode ser determinada da seguinte forma:

Seja M a Matriz das coordenadas de A e B:
(x......y......1)
(-1.....1......1) = M 
(3......1......1) 

Calculando o determinante de M (Det[M]) pela Regra de Sarrus e igualando-o a zero fica: 

|x.......y......1......x.....y|
|-1......1......1.....-1.....1| = Det[M] = 0
|3......1.......1......3.....1|

Det[M] = - [3 + x - y] + [x + 3y -1] 
Det[M] =[-3 -x + y + x +3y - 1]
Det[M]= 4y - 4 = 0 ⇔ (y - 1)*4 = 0 ⇔ y - 1 = 0 equação geral da reta AB

Note que falta a variável x, significa que essa reta é paralela ao eixo x. 

■ reta AB: y - 1 = 0 // ao eixo Ox 

■ Altura de um triângulo equilátero é dado por h = L√3/2) = 4√3/2 = 2√3

■ A distância de C(x0,y0) até a reta AB coincide com a altura h do ▲ABC

Desta forma, 2√3 = |0 .x0 + 1. y0 - 1|/ |√0² + 1²| ⇔ 2√3 = | y0 +1| ⇔
⇔ (2√3)² =(|y0 -1|)² ⇔ 12 = y0² - 2y0 + 1 ⇔ y0² - 2y0 - 11 = 0

Resolvendo a equação y0² - 2y0 - 11 = 0

Os Coeficiente da Equação:
a = 1 ; b = -2 ; c = -11 

Cálculo de Delta:▲ = b² -4ac = (-2)² - 4(1)(-11) = 4 + 44 = 48 
▲ = 48 → √▲ = √48 = ± 4√3 

Fórmula de Baskara
y0 = (-b ± √▲)/2*a Cálculo das Raízes

y0_1 = [ -(-2) + 4√3 ]/2*1 = [2 + 4√3]/2 = 1 + 2√3
y0_2 = [ -(-2) - 4√3 ]/2*1 = [2 - 4√3]/2 = 1 - 2√3 (não serve pois é < 0)

Daí a ordenada y0 de C(x0,y0) é dada por  1 + 2√3. Resta saber o valor da abcissa x0 que é ponto médio de AB:  x0 = (-1 +3)/2 = 1

Conclusão: C(1, 1 +2√3)

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Obrigado pela oportunidade. 
Boa sorte, bons estudos.
SSRC - ♑ - 2015 
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