Question

Para avaliar a energia efetivamente gasta no movimento do veículo, você e sua equipe
compararam a potência fornecida pelo sistema (PotF) para gerar o movimento com a potência
regenerada (PotR) pelo sistema de frenagem. As equações para as duas potências
são as apresentadas a seguir:
Essas funções foram desenvolvidas em um teste de campo com tempo de frenagem variando
de 0 a 15 segundos. Com base nas duas equações encontradas:
1) Faça o gráfico das duas funções utilizadas dentro do intervalo de 0 a 15 segundos.
Pode-se utilizar software para isso, como o Geogebra. Para definir a
assíntota em 15 segundos, basta inserir no Geogebra x = 15
2) A energia efetivamente gasta no movimento pode ser representada pela
área entre as curvas da potência fornecida e da potência regenerada. Desta
forma, calcule a energia efetivamente consumida no intervalo dado.

Answer 1

A partir do estudo do Cálculo Diferencial e Integral e do conceito de integral definida de uma função, tem-se que a energia efetiva consumida é E=72,73 J.

Segundo o Cálculo Diferencial e Integral, tem-se que a Integral definida entre dois pontos a e b é tida como a área da função nesse intervalo [a,b] (ver figura 1 em anexo).  

Como o enunciado descreve a energia efetiva consumida como a área entre as curvas das funções PotF(t) e PotR(t). Com auxílio de um software (neste caso foi utilizado o Matlab), é preciso encontrar onde essas funções se interceptam em t, e a integral será da função "de cima" menos a função "de baixo" (figura 2 em anexo):

$E=\int_{0}^{15} {[2*ln(t+1)+4]-[e^{-t}+3] \ dt}\\\\E=\int_{0}^{15} {2*ln(t+1)-e^{-t}+1 \ dt}\\ \\E=2*\pmb{\int_{0}^{15}{ln(t+1) \ dt}} - \pmb{\int_{0}^{15}{e^{-t} \ dt}} +1*\pmb{\int_{0}^{15}{\ dt}}$

Nomeando as integrais em negrito na equação de A, B e C, respectivamente, podemos resolvê-las separadamente para facilitar o cálculo:

Integrando A (integral por partes):

$A=\int ln(u) \ du\\\\\pmb{\int fg'= fg- \int f'g}\\\\\\f=ln(u) \ \therefore{} \ f'=\frac{1}{u}\\g'=1 \ \therefore{} \ g=u\\\\\int ln(u) \ du=u*ln(u)-\int 1 \ du\\\int ln(u)=u8ln(u) - u\\\\A=\pmb{(t+1)*ln(t+1)-t-1}$

Integrando B (integral por substituição):

$B=\int e^{-u} \ du\\\\u=-t \ \therefore{} \ \frac{du}{dt}=-1 \ \therefore{} dt=-du\\\\\int e^{u-}=-e^{u}\\\\\\B=\pmb{-e^{-t}}$

Integrando C (integral simples):

$C=\int dt\\\\C=\pmb{t}$

(Note que a constante foi omitida em todos os casos pois os valores serão calculados entre [0,15])

Substituindo A, B e C na equação inicial:

$E=2\pmb{A}-\pmb{B}+\pmb{C}\\\\E=2*[(t+1)*ln(t+1)-t-1]-(-e^{-t})+t |_{0}^{15}\\\\E=2t*ln(t+1)+2*ln(t+1)-t+\frac{1}{e^{t}} |_{0}^{15}\\\\E=2*(16)*ln(16)-(15)+\frac{1}{e^{15}}-2*ln(1)-\frac{1}{e^{0}}\\\\E=32*ln(16)-16+\frac{1}{e^{15}}\\\\\pmb{E=72,73 \ J}$

Segue outro exemplo envolvendo Integral Definida: https://brainly.com.br/tarefa/4620385