Question

Para as funções f abaixo determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f ´e côncava para cima e para baixo, assíntotas verticais. Note que as derivadas já estão dadas.

$f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} , f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x -1)^2} , f''(x) = \frac{2}{(x -1)^3}$

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Dada a função $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$ e suas derivadas $f'(x)=\dfrac{x\cdot(x-2)}{(x-1)^2}$ e $f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^3}$, devemos determinar:

a) Seus pontos críticos

Lembre-se que os pontos críticos de uma função são aqueles pertencentes ao seu domínio cuja inclinação da reta tangente à curva neste ponto é igual a zero. Isto é, sua derivada calculada neste ponto é igual a zero.

Assim, teremos:

$f'(x)=0\\\\\\ \dfrac{x\cdot(x-2)}{(x-1)^2}=0$

Para que uma fração seja igual a zero, seu numerador deve ser igual a zero. Assim, fazemos:

$x\cdot(x-2)=0$

Para que um produto de dois ou mais fatores seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero. Assim, fazemos:

$x=0~~\bold{ou}~~x-2=0$

Some $2$ em ambos os lados da segunda igualdade

$x=0~~\bold{ou}~~x=2~~\checkmark$

b) Seus máximos e mínimos locais

Para isso, utilizamos o teste da segunda derivada: seja $a$ um ponto crítico da função $f(x)$. Ao calcularmos o valor da segunda derivada desta função neste ponto, existem três possíveis resultados:

• Se $f''(a)>0,~(a,~f(a))$ é um ponto de mínimo local.
• Se $f''(a)<0,~(a,~f(a))$ é um ponto de máximo local.

• Se $f''(a)=0,~(a,~f(a))$ é um ponto de inflexão.

Assim, teremos:

$f''(0)=\dfrac{2}{(0-1)^3}=\dfrac{2}{(-1)^3}=\dfrac{2}{-1}=-2\\\\\\\ f''(0)=\dfrac{2}{(2-1)^3}=\dfrac{2}{1^3}=\dfrac{2}{1}=2$

De acordo com os teoremas acima, facilmente pode-se afirmar que $x=0$  é um ponto de máximo local e  $x=2$  é um ponto de mínimo local.

c) Seus intervalos de crescimento e decrescimento

Para que uma função seja crescente em um intervalo, sua derivada calculada em algum ponto pertencente ao intervalo deve ser maior que zero. O oposto é válido para que a função seja decrescente.

Assim, teremos:

$f'(x)>0\\\\\\ \dfrac{x\cdot(x-2)}{(x-1)^2}>0$

Visto que o denominador é uma expressão quadrática, ou seja, estritamente positiva para $x\neq1$, aplicamos a desigualdade no numerador:

$x\cdot(x-2)>0$

Para que um produto de dois ou mais fatores seja maior que zero, ambos os fatores devem ser maiores que zero ou menores que zero. Com isso, temos os seguintes sistemas de desigualdades:

$\begin{cases}x>0\\x-2>0\\\end{cases}~~\bold{ou}~~\begin{cases}x<0\\x-2< 0\\\end{cases}$

Some $2$ em ambos os lados da segunda desigualdade dos sistemas

$\begin{cases}x>0\\x>2\\\end{cases}~~\bold{ou}~~\begin{cases}x<0\\x<2 \\\end{cases}$

Com estas informações, utilizamos a notação de intervalo para concluir que os intervalos de crescimento desta função são $]-\infty,~0[$ e $]2,~\infty[$.

Faça o mesmo para os intervalos de decrescimento:

$f'(x)<0\\\\\\ \dfrac{x\cdot(x-2)}{(x-1)^2}< 0\\\\\\ x\cdot(x-2)<0$

Para que um produto de dois ou mais fatores seja menor que zero, Os fatores devem ser, alternadamente, maior e menor que zero. Com isso, temos os seguintes sistemas de desigualdades:

$\begin{cases}x< 0\\x>2\\\end{cases}~~\bold{ou}~~\begin{cases}x>0\\x<2 \\\end{cases}$

Observe que o primeiro sistema nos leva a uma contradição. Logo, conclui-se que o intervalo de decrescimento da função é $]0,~2[$.

d) Seus pontos de inflexão

Igualamos a segunda derivada da função a zero:

$f''(x)=0\\\\\\ \dfrac{2}{(x-1)^3}=0$

Esta é uma função racional, cujo limite existe e não é finito. Ou seja, a função não apresenta pontos de inflexão.

e) Intervalos onde a função é côncava para cima e para baixo.

Para que uma função tenha concavidade para cima em um intervalo, sua segunda derivada deve ser maior que zero:

$f''(x)>0\\\\\\ \dfrac{2}{(x-1)^3}>0$

Visto que o numerador é uma constante positiva, aplicamos a desigualdade no denominador:

$(x-1)^3>0$

Resolva a desigualdade

$x-1>0\\\\\\ x>1$

O intervalo cujo a função tem concavidade para cima é igual a $]1,~\infty[$.

Para que uma função tenha concavidade para baixo em um intervalo, sua segunda derivada deve ser menor que zero:

$f''(x)<0\\\\\\ \dfrac{2}{(x-1)^3}<0$

Visto que o numerador é uma constante positiva, aplicamos a desigualdade no denominador:

$(x-1)^3<0$

Resolva a desigualdade

$x-1<0\\\\\\ x<1$

O intervalo cujo a função tem concavidade para baixo é igual a $]-\infty,~1[$.

f) Suas assíntotas verticais

A assíntota vertical de uma função é a reta $x=c$ cujo limite da função calculado naquele ponto não existe ou não é finito.

Antes, fatoramos a função:

$f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}=x+\dfrac{1}{x-1}$

Facilmente podemos ver que o limite da função quando $x\rightarrow 1$ não existe pois seus limites laterais não são iguais.

Com isso, afirma-se que a reta $x=1$ é assíntota vertical da função.