Para a fabricação de uma peça metálica de formato retangular, serão usadas hastes de zinco e cobre, sendo que os lados paralelos serão compostos do mesmo material, conforme representado na figura a seguir:
Em um dado fornecedor, o preço das hastes de zinco e das de cobre a serem usadas para a fabricação da peça é, respectivamente, R$ 3,00 e R$ 8,00 o metro. Limitando o custo do material utilizado na fabricação de cada peça a R$ 24,00, a máxima área possível de uma peça fabricada com hastes compradas nesse fornecedor, em m*2, será de:
a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 3/2
e) 2
Resposta: letra D
Soluções para a tarefa
Para resolver essa questão, vamos dizer que o lado de zinco mede x e a haste de cobre mede y. Desse modo, a área total será: A = x × y.
Além disso, temos o gasto máximo de R$24,00 com a peça toda. Uma vez que iremos gastar 2x com zinco e 2y com cobre, temos:
2x × 3 + 2y × 8 = 24
3x + 8y = 12
Isolando y, temos:
y = (12 - 3x) / 8
Substituindo na equação da área, temos:
A = x × (12 - 3x) / 8
A = 3/2 x - 3/8 x²
Como queremos a área máxima, devemos derivar essa função e igualar a zero. Assim:
A' = 3/2 - 3/4 x
3/2 - 3/4 x = 0
x = 2 metros
Com isso, voltamos a equação do custo e determinamos o valor de y:
y = (12 - 3×2) / 8
y = 3/4 metros
Por fim, calculamos a área da peça com dimensões x = 2 e y = 3/4:
A = 2 × 3/4
A = 3/2 m²
Portanto, a área máxima da peça é 3/2 m².
Alternativa correta: D.