Question

Os vetores u=(1,3), v=(5,9) e w=(7,6) são L.D ou L.I ?

Answer 1

Olá.

São 3 vetores no espaço R², cuja base canônica tem 2 vetores (0,1) e (1,0). Por isso, temos que os três vetores são necessariamente L.D.

Se não quisermos ir por essa solução imediata, temos a definição. se forem L.I., então a única solução de:

$a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0}$
É a trivial, onde a,b,c são constantes escalares

Assim:

a(1,3) + b(5,9) + c(7,6) = 0

(a,3a) + (5b, 9b) + (7c, 6c) = 0

(a + 5b + 7c, 3a + 9b + 6c) = 0

Temos o sistema:

→a + 5b + 7c =0
→ 3a + 9b + 6c = 0

Três incógnitas, duas equações. Sistema Possível Indeterminado. Veja só:

a = -5b - 7c

Na segunda:

(-15b -21c) + 9b + 6c = 0

-6b -15c = 0

b = (-5/2)c

Jogamos na primeira equação para descobrir a como a(c).

a = -5b - 7c

a = (25/2)c - 7c

a = (11/2)c


E temos uma solução para cada valor de c. Como existem infinitas soluções, o conjunto de vetores será L.D.

Veja qual solução mais te agrada :)