Question

Considere um quadrado ABCD de lado 2, conforme ilustrado na figura abaixo e M o ponto médio do segmento CD:
(a) Escreva BM como combinação linear de AB e AD.
(b) Calcule a norma (módulo) de AC.
(c) Calcule o produto escalar AB.AC.
(d) Calcule a norma (módulo) do produto vetorial |AB x AC|.

Obs.: Anexei a figura do quadrado

Answer 1

Caso tenha problemas para visualizar a resposta pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador: https://brainly.com.br/tarefa/8089684

_______________


Temos em anexo a esta pergunta um quadrado ABCD, cujos lados medem 2 unidades de comprimento.

Isto nos permite escrever que

•   $\|\overrightarrow{\mathsf{AB}}\|=\|\overrightarrow{\mathsf{BC}}\|=\|\overrightarrow{\mathsf{CD}}\|=\|\overrightarrow{\mathsf{DA}}\|=\mathsf{2}$


•   $\overrightarrow{\mathsf{AB}}$  e  $\overrightarrow{\mathsf{CD}}$   são paralelos de mesmo comprimento, porém têm sentido contrário, ou seja:

$\overrightarrow{\mathsf{AB}}=-\overrightarrow{\mathsf{CD}}$


De forma análoga, temos também que

$\overrightarrow{\mathsf{BC}}=-\overrightarrow{\mathsf{DA}}\\\\ \overrightarrow{\mathsf{BC}}=\overrightarrow{\mathsf{AD}}$


•   Por fim, temos que

$\|\overrightarrow{\mathsf{CM}}\|=\|\overrightarrow{\mathsf{MD}}\|=1$


e também

$\overrightarrow{\mathsf{CM}}+\overrightarrow{\mathsf{MD}}=\overrightarrow{\mathsf{CD}}.$

________


(a)   Escrever $\overrightarrow{\mathsf{BM}}$ como combinação linear de  $\overrightarrow{\mathsf{AB}}$  e  $\overrightarrow{\mathsf{AD}}$


Decompondo  $\overrightarrow{\mathsf{BM}}$  por soma de vetores, temos que

$\overrightarrow{\mathsf{BM}}=\overrightarrow{\mathsf{BC}}+\overrightarrow{\mathsf{CM}}\\\\ \overrightarrow{\mathsf{BM}}=\overrightarrow{\mathsf{BC}}+\mathsf{\dfrac{1}{2}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{CD}}\\\\\\ \overrightarrow{\mathsf{BM}}=\overrightarrow{\mathsf{BC}}+\mathsf{\dfrac{1}{2}}\cdot (-\overrightarrow{\mathsf{AB}})\\\\\\ \overrightarrow{\mathsf{BM}}=\overrightarrow{\mathsf{AD}}-\mathsf{\dfrac{1}{2}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{AB}}\qquad\quad\checkmark$

________


(b)   Calcular a norma do vetor  $\overrightarrow{\mathsf{AC}}:$


Decompondo o vetor por soma:

$\overrightarrow{\mathsf{AC}}=\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\overrightarrow{\mathsf{BC}}$


sendo assim,

$\|\overrightarrow{\mathsf{AC}}\|=\|\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\overrightarrow{\mathsf{BC}}\|$


e usando a Lei dos Cossenos para soma de vetores, devemos ter

$\|\overrightarrow{\mathsf{AC}}\|^2=\|\overrightarrow{\mathsf{AB}}\|^2+\|\overrightarrow{\mathsf{BC}}\|^2+\mathsf{2}\cdot \|\overrightarrow{\mathsf{AB}}\|\cdot \|\overrightarrow{\mathsf{AC}}\|\cdot \mathsf{cos\,90^\circ}\\\\ \|\overrightarrow{\mathsf{AC}}\|^2=2^2+2^2+\mathsf{2\cdot 2\cdot 2\cdot cos\,90^\circ}\\\\ \|\overrightarrow{\mathsf{AC}}\|^2=\mathsf{4+4+0}\\\\ \|\overrightarrow{\mathsf{AC}}\|^2=\mathsf{8}$

$\|\overrightarrow{\mathsf{AC}}\|=\mathsf{\sqrt{8}}\\\\ \|\overrightarrow{\mathsf{AC}}\|=\mathsf{2\sqrt{2}}\qquad\quad\checkmark$

________


(c)   Calcular o produto escalar de  $\overrightarrow{\mathsf{AB}}$   por    $\overrightarrow{\mathsf{AC}}:$

$\overrightarrow{\mathsf{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{AC}}=\|\overrightarrow{\mathsf{AB}}\|\cdot \|\overrightarrow{\mathsf{AC}}\|\cdot \mathsf{cos\,45^\circ}\\\\ \overrightarrow{\mathsf{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{AC}}=\mathsf{2\cdot \diagup\!\!\!\! 2\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \overrightarrow{\mathsf{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{AC}}=\mathsf{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}$

$\overrightarrow{\mathsf{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{AC}}=\mathsf{2\cdot 2}\\\\\\ \overrightarrow{\mathsf{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{AC}}=\mathsf{4}\qquad\quad\checkmark$

________


(d)   Calcular a norma do produto vetorial de  $\overrightarrow{\mathsf{AB}}$   por    $\overrightarrow{\mathsf{AC}}:$

$\|\overrightarrow{\mathsf{AB}}\wedge \overrightarrow{\mathsf{AC}}\|=\|\overrightarrow{\mathsf{AB}}\|\cdot \|\overrightarrow{\mathsf{AC}}\|\cdot \mathsf{sen\,45^\circ}\\\\ \|\overrightarrow{\mathsf{AB}}\wedge \overrightarrow{\mathsf{AC}}\|=\mathsf{2\cdot \diagup\!\!\!\! 2\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \|\overrightarrow{\mathsf{AB}}\wedge \overrightarrow{\mathsf{AC}}\|=\mathsf{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}$


$\|\overrightarrow{\mathsf{AB}}\wedge \overrightarrow{\mathsf{AC}}\|=\mathsf{2\cdot 2}\\\\\\ \|\overrightarrow{\mathsf{AB}}\wedge \overrightarrow{\mathsf{AC}}\|=\mathsf{4}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)


Tags:   vetor combinação linear norma módulo produto escalar vetorial decomposição soma geometria analítica

Answer 2

a)
Imagem anexada
$\displaystyle\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AD}$+$(-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})$
$\displaystyle\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
b)
$\displaystyle\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
Como $\displaystyle\overrightarrow{AB}$ = (2j^) e $\displaystyle\overrightarrow{BC}$ = (2i^),
$\displaystyle\overrightarrow{AC}$ = (2j^+2i^)
|$\displaystyle\overrightarrow{AC}$| = $\displaystyle\sqrt{2^{2}+2^{2}}$
|$\displaystyle\overrightarrow{AC}$| = 2√2 (diagonal do quadrado de lado 2)

c)
$\displaystyle\overrightarrow{AB}$.$\displaystyle\overrightarrow{AC}$ = (2j^).(2i^+2j^) = 4

d)
$\displaystyle\overrightarrow{AB}$ x $\displaystyle\overrightarrow{AC}$ = -4k^
|$\displaystyle\overrightarrow{AB}$ x $\displaystyle\overrightarrow{AC}$| = 4