Question

Os pontos M= (-2,-4) e N= (2, -3), P (6,2) e Q são vértices consecutivos de um paralelogramo

a) Determine as coordenadas de um ponto de encontro das diagonais do paralelogramo MNPQ. B) Determine as coordenadas do vértice Q

Answer 1

Pelos cálculos realizados, podemos concluir que o ponto de encontro das diagonais é dado por $\bf D=(2,-1)$ e as coordenadas de Q são $\bf Q=(2,\:1)$

Explicação

Temos os seguintes pontos:

$\bf M= (-2, - 4) , \: N= (2, -3), \: P (6, \: 2) \: e \: Q (r, \: s)$

A partir destes pontos, a questão nos faz duas perguntas, sendo elas:

• a) Determine as coordenadas de um ponto de encontro das diagonais do paralelogramo MNPQ.

Para determinarmos as coordenadas do ponto de encontro das diagonais, devemos primeiro lembrar de uma das propriedades do paralelogramo, que nos informa que:

• O ponto de encontro das diagonais (que são duas) de um paralelogramo, gera apenas um ponto de intersecção, onde este divide cada diagonal em duas partes iguais, isto é, o ponto de encontro corresponde ao ponto médio de cada uma das diagonais.

Como queremos encontrar as coordenadas deste ponto, podemos basicamente determinar o ponto médio de uma das diagonais, que são $\overline{\bf MP}$ e $\overline{\bf NQ}$, de acordo com o texto acima. Observe que o ponto Q não é conhecido, então é mais viável calcularmos o ponto médio da diagonal $\overline{ MP}$, já que os pontos médios de ambas são iguais $\bf M_{\overline{MP}}=M_{\overline{ NQ}}$. Lembrando que para isso iremos utilizar a seguinte fórmula:

$\: \: M_{\overline{MP}}= \left(\frac{x_m + x_p}{2},\frac{y_m+y_p}{2} \right)$

Organizando os valores de x e y requeridos.

$\begin{cases}M= (-2,-4) \: \to \:x_m = - 2, \: y_m = - 4 \\P = (6,2) \: \to \: x_p =6, \: y_p = 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \end{cases}$

Substituindo os dados na fórmula:

$\: \: M_{\overline{MP}}= \left(\frac{ - 2 + 6}{2},\frac{ - 4+2}{2} \right) \\ \\ M_{\overline{MP}}= \left(\frac{ 4}{2},\frac{ - 2}{2} \right) \: \to \: \boxed{\bf M_{\overline{MP}}= \left(2, \: - 1\right) }$

Portanto este é o valor do ponto de encontro das diagonais.

• B) Determine as coordenadas do vértice Q:

Para determinar as coordenadas do vértice Q será bem simples, pois basta utilizar a informação citada anteriormente de que $M_{\overline{MP}}=M_{\overline{ NQ}}$, que quer dizer que os pontos médios são iguais. Como sabemos o valor de $M_{\overline{MP}}$, basta calcularmos a outra expressão e usar este resultado.

Como sabemos as coordenadas do ponto médio e queremos determinar uma das coordenadas dos pontos envolvidos, então vamos utilizar a outra variação da fórmula do ponto médio, que é:

$X_{\overline{MP}}=\frac{x_n+x_q}{2}\:\:e\:\: Y_{\overline{MP}}=\frac{y_n+y_q}{2}$

Organizando os dados antes da substituição.

$\begin{cases}M_{\overline{MP}} = (2,-1) \: \to \: X_{\overline{MP}} = 2 \: \: e \: \: Y_{\overline{MP}} = - 1 \\ N=(2,-3) \: \to \: x_n = 2 \: \: e \: \: y_n = - 3 \: \: \: \end{cases}$

Substituindo os dados nas relações:

$\begin{cases} \: \: 2= \frac{2 + x_q}{2} \: \: e \: \: - 1 = \frac{ - 3 +y_q}{2} \\ \\ 4 = 2 + x_q \: \: e \: \: - 2 = - 3 +y_q \\ \\ x_q = 4 - 2 \: \: e \: \: y_q = 3 - 2 \\ \\ \boxed{x_q = 2 \: \: \: \: e \: \: \: \: y_q = 1} \end{cases}$

Portanto temos que a coordenada do ponto Q é dado por $\boxed{ \bf Q(2,\:1)}$

Espero ter ajudado

Leia mais sobre em:

https://brainly.com.br/tarefa/7501219

https://brainly.com.br/tarefa/1445770