Question

Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são n-2, n e n +2.
Determine o número de lados desses polígonos, sabendo que a soma de todas as suas
diagonais vale 64​

Answer 1

O número de diagonais de polígono é dado por :

$\displaystyle \text D = \frac{\text n(\text n -3) }{2}$

onde :

n = número de lados do polígono.

A questão fala que a soma das diagonais dos polígonos de lados n-2, n e n+2 dá 64. Então vamos fazer a diagonal de cada polígono, somar e igualar a 64.

Polígono de lado n-2 :

$\displaystyle \text D = \frac{\text n(\text n -3) }{2} \\\\ \displaystyle \text D = \frac{(\text n-2)(\text n -2-3) }{2} \\\\ \displaystyle \text D = \frac{(\text n-2)(\text n -5) }{2}$

Polígono de lado n :

$\displaystyle \text D = \frac{\text n(\text n -3) }{2}$

Polígono de lado n + 2 :

$\displaystyle \text D = \frac{\text n(\text n -3) }{2} \\\\\displaystyle \text D = \frac{(\text n+2)(\text n+2 -3) }{2} \\\\\displaystyle \text D = \frac{(\text n+2)(\text n -1) }{2}$

Somando as diagonais e iguais a 64 :

$\displaystyle \frac{(\text n-2)(\text n -5) }{2} + \frac{\text n(\text n -3) }{2}+\frac{(\text n+2)(\text n -1) }{2} = 64$

$\displaystyle (\text n-2)(\text n -5) + \text n(\text n -3)+(\text n+2)(\text n -1) = 2.64$

$\displaystyle \text n^2-7\text n + 10 + \text n^2-3\text n + \text n^2+\text n - 2= 128$

$\displaystyle 3\text n^2-9\text n -120=0$

$\displaystyle \text n^2-3\text n -40=0$

$\displaystyle \text n = \frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4.(-40)}}{2} \to \text n = \frac{3\pm\sqrt{169}}{2}$

$\displaystyle \text n = \frac{3+13}{2}$

$\displaystyle \boxed{\text n = 8}$

portanto o número de lados de cada polígono é :

Polígono de n-2 lados : 8 - 2 = 6 lados

Polígono de n lados : 8 lados

Polígono de n+2 lados : 8+2 = 10 lados