Question

5. Considere a circunferência de equação
X + y + 3x - 4y = 0 e a reta de equação
2x - y + m = 0, ambas representadas no mesmo plano
cartesiano. Para que valores de m a reta é tangente à
circunferência?​

Answer 1

Para $m=\frac{5\sqrt{5}}{2}+5$ ou $m=-\frac{5\sqrt{5}}{2}+5$ a reta é tangente à circunferência.

Para que a circunferência x² + y² + 3x - 4y = 0 seja tangente à reta 2x - y + m = 0, a distância entre o centro e a reta deverá ser igual a medida do raio.

Para calcularmos o centro da circunferência e o raio, precisamos completar quadrado:

x² + 3x + 9/4 + y² - 4y + 4 = 9/4 + 4

(x + 3/2)² + (y - 2)² = 25/4.

Portanto, a circunferência está centrada no ponto (-3/2,2) e possui raio igual a 5/2.

Calculando a distância entre o centro e a reta 2x - y + m = 0:

$\frac{5}{2}=\frac{|2.(-\frac{3}{2})-1.2 + m|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$

$\frac{5}{2}=\frac{|-5+m|}{\sqrt{5}}$

$|-5+m|=\frac{5\sqrt{5}}{2}$.

Temos então duas possibilidades:

$\frac{5\sqrt{5}}{2}=-5+m$ ou $-\frac{5\sqrt{5}}{2}=-5+m$.

Portanto,

$m=\frac{5\sqrt{5}}{2}+5$ ou $m=-\frac{5\sqrt{5}}{2}+5$