Question

Os números inteiros positivos foram escritos em sequência, como indicado na figura. Observe que na primeira linha foi escrito o número 1 e que nas seguintes há dois números a mais do que na linha anterior.
Encontre a soma de todos os números que estão na mesma linha que o número 2019.

Answer 1

Resposta:

Primeiramente devemos procurar um padrão:

linha 1----------último termo=1

linha 2----------último termo=4

linha 3----------último termo=9

linha 4----------último termo=16

Ou seja, o último termo de cada linha equivale ao quadrado da linha onde ele está.

Dessa forma, determinaremos em qual linha está no número 2019 por sua raiz quadrada.

O número mais próximo de 2019 que possui raiz quadrada exata é 2025, cuja raiz é 45, ou seja, 2019 está na linha 45.

Precisamos, agora, encontrar a soma dos termos. Para isso, usaremos a fórmula:

$S_{n} = \frac{ (a_{1} + a_{n})N}{2}$

onde:

$a_{1} = primeiro \: \: termo$

$a_{n} = n - ésimo \: \: termo$

$N = número \: \: de \: \: termos$

$S_{n} = soma \: \: dos \: \: N \: \: termos$

A linha que antecede à linha 45 tem o número 1936 com último termo, dessa forma o 1° termo da linha 45 é 1937. A quantidade de termos na linha 45 é 89. Com isso, temos:

$S_{n} = \frac{(1937 + 2025)89}{2}$

$S_{n} = \frac{3962 \times89 }{2}$

$S_{n} = 176309$

Answer 2

Resposta:

Primeiramente devemos procurar um padrão:

linha 1----------último termo=1

linha 2----------último termo=4

linha 3----------último termo=9

linha 4----------último termo=16

Ou seja, o último termo de cada linha equivale ao quadrado da linha onde ele está.

Dessa forma, determinaremos em qual linha está no número 2019 por sua raiz quadrada.

O número mais próximo de 2019 que possui raiz quadrada exata é 2025, cuja raiz é 45, ou seja, 2019 está na linha 45.

Precisamos, agora, encontrar a soma dos termos. Para isso, usaremos a fórmula:

onde:

A linha que antecede à linha 45 tem o número 1936 com último termo, dessa forma o 1° termo da linha 45 é 1937. A quantidade de termos na linha 45 é 89. Com isso, temos:

Explicação passo-a-passo: