Question

os números 2, 2, 6, 4, 10, 8, 14,…, apresentam uma sequência lógica

Answer 1

Com base no estudo sobre sequência temos como resposta o 13

Sequência

Uma sequência de números reais é um conjunto ordenado de números reais: $a_1,a_2,a_3,...$ Cada um dos números que formam a sequência é chamado termo de sucessão. As sucessões numéricas podem ser finitas, quando o número de termos é limitado, ou infinitas, há um número ilimitado de termos.

Termo geral de uma sequência

Existem sequências que seguem uma regra definida em sua formação. Por exemplo, na sucessão: 1, 8, 27, 64,...cada termo é obtido elevando-se ao cubo o número da posição que ocupa na sequência.

$a_1=1^3=1\\a_2=2^3=8\\a_3=3^3=27\\.\\.\\.\\a_n=n^3$

Ou seja, nesse caso, pode-se encontrar uma expressão,$a_n=n^3$, que permite calcular o valor de qualquer termo sabendo a posição que ocupa. A expressão $a_n=n^3$ é denominada termo geral da sequência. Com base nisso vamos observar e resolver algumas sequências.

Exemplo 1: Vamos considerar a lista de igualdades

• 1 = 1

• 1 + 2 = 3

• 1 + 2 + 2² = 7

• 1 + 2 + 2² + 2³ = 15

Vamos encontrar uma regrar que nos dê os números do lado direito. Notemos que:

• 1 = 2 - 1

• 3 = 2² - 1

• 7 = 2³ - 1

Assim, podemos chegar na fórmula

• $1+2+2^2+2^3+....+2^{n-1}=2^n-1$

Vamos mostrar a validade para todo $n\in \mathbb{Z}^+$

$S=\left\{n\in \mathbb{Z}^+;1+2+2^2+2^3+...+2^{n-1}=2^n-1\right\}$

$1\in S,pois\:1=2^1-1\\\\H.I:\:suponhamos\:que\:k\in S,\:ou\:seja\\\\1+2+2^2+...+2^{k-1}=2^k-1$

$T.I:\:devemos\:provar\:que\:k+1\in S.\:Usando\:a\:Hipotese\:de\:Inducao\:obtemos$

$\begin{cases}1+2+2^2+2^3+...+2^{k-1}+2^k=\left(2^k-1\right)+2^k&\\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=2\cdot 2^k-1&\\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=2^{k+1}&\end{cases}$

e assim, concluímos que é válida para todos os inteiros positivos

Exemplo 2: Considerando a sequência 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ... vamos encontrar uma fórmula $\left(a_n\right)_{n\ge 1}$ e mostrar que $a_n < \left(\frac{7}{4}\right)^n$.

Com exceção dos dois primeiros termos, temos que $a_1=1,a_2=2\:e\:a_n=a_{n-1}+a_{n-2};n\ge 3$

• Para n = 1, temos que $a_1=1 < \left(\frac{7}{4}\right)^1$

• H.I: Vamos supor que a desigualdade é válida para n = 1, 2, ..., k - 1. Logo, em particular, vale para n = k - 2 e n = k - 1, ou seja:
• $a_{k-1} < \left(\frac{7}{4}\right)^{k-1}\:\:e\:a_{k-1} < \left(\frac{7}{4}\right)^{k-2}$

Disso teremos

• $a_k=a_{k-1}+a_{k-2} < \left(\frac{7}{4}\right)^{k-1}+\left(\frac{7}{4}\right)^{k-2}$

• $=\left(\frac{7}{4}\right)^{k-2}\left(1+\frac{7}{4}\right)$

• $=\left(\frac{7}{4}\right)^{k-1}\left(\frac{11}{4}\right)$

• $< \left(\frac{7}{4}\right)^{k-2}\left(\frac{7}{2}\right)^2$

• $=\left(\frac{7}{4}\right)^k$

Daí, mostramos que $a_n < \left(\frac{7}{4}\right)^n$

Com isso podemos resolver o exercício

Ao olhar atentamente, o padrão será gravado: os números ímpares-ímpares (1º, 3º, 5º ...) aumentarão 4 vezes cada vez que aparecerem e os números sequenciais (2º, 4º, 6 ...) dobrarão toda vez aparece. Continuando a ordem lógica, temos: 2, 2, 6, 4, 10, 8, 14, 16, 18, 32, 22, 64, 26, ... Portanto, o número 26 é o número 13 que aparecerá em sequência.

Saiba mais sobre sequência: https://brainly.com.br/tarefa/2508691

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