Question

Os modelos permitem-nos fazer previsões sobre situações reais, sendo, em geral, simplificações, válidas em certas condições, de questões complexas. Por exemplo, num jogo de futebol, a trajetória da bola, após o chute, e o débito cardíaco dos jogadores podem ser descritos por modelos.
- Trajetória da bola: quando se despreza a resistência do ar, a trajetória da bola chutada, sob a ação da gravidade (g=10 m/s2 ), é dada por h=d tgθ-5 (d²/v0²)(1+tg²θ), em que v0 é a velocidade escalar inicial (em m/s), T é o ângulo de elevação (em radianos) e h é a altura (em m) da bola a uma distância d (em m), do local do chute, conforme figura abaixo.

- Débito cardíaco (DC): está relacionado ao volume sistólico VS (volume de sangue bombeado a cada batimento) e à frequência cardíaca FC pela fórmula DC = VS x FC.

Utilize esses modelos para responder às seguintes questões:

a) Durante uma partida, um jogador de futebol quer fazer um passe para um companheiro a 32 m de distância. Seu chute produz uma velocidade inicial na bola de 72 km/h. Calcule os valores de tgT necessários para que o passe caia exatamente nos pés do companheiro.

b) Dois jogadores, A e B, correndo moderadamente pelo campo, têm frequência cardíaca de 120 batimentos por minuto. O jogador A tem o volume sistólico igual a 4/5 do volume sistólico do jogador B. Os dois passam a correr mais rapidamente. A frequência cardíaca do jogador B elevase para 150 batimentos por minuto. Para quanto subirá a frequência cardíaca do jogador A se a variação no débito cardíaco (DCfinal – DCinicial) de ambos for a mesma?

Answer 1

a) Precisamos ter na expressão numérica h = 0 para que a bola alcance os pés do jogador de futebol. 
Sabemos que d = 32m e V0 = 72km/h (20m/s), então obtemos:

h = d . tgθ - 5 (d²/V²₀) (1 + tg²θ)
0 = 32 . tgθ - 5 (32²/20²) (1 + tg²θ)
0 = 32 . tgθ - 5 (32/20)² (1 + tg²θ)
0 = 32 . tgθ - 12,8 (1 + tg²θ)
0 = 32tgθ - 12,8 + 12,8tg²θ
2tg²θ - 5tgθ + 2 = 0
tgθ = $\frac{5 +- \sqrt{25 - 16} }{4}$
tgθ = $\frac{5+-3}{4}$

Resposta: tgθ₁ = 2   ou   tgθ₂ = 1/2

Podemos justificar a existência e dois valores para a tg em virtude de que dois ângulos que são complementares irão ciar o mesmo nível de alcance horizontal, ou seja, os ângulos θ₁ e θ₂ complementam-se. 

Agora vamos calcular os débitos cardíacos dos jogadores A e B em suas condições iniciais e finais.

$DC_{A(Inicial)} = \frac{4}{5} VS(B) . 120$
$DC_{b (Inicial)} = VS(B) . 120$
$DC_{A(Final)} = \frac{4}{5} VS(B) . FC$
$DC_{B(Final)} = VS(B) . 150$

Podemos perceber que as diferenças nos débitos cardíacos dos dois jogadores são iguais. Dessa forma:

$DC_{B(Final)} - DC_{B(Inicial)} = DC_{A(Final)} - DC_{A(Inicial)}$
150 - 120 = 4/5 (FC -120)
37,5 = FC -120
Resposta: a frequência cardíaca subirá para 157,5 batimentos por minuto.