Matemática, perguntado por Melissa08, 3 meses atrás

Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t.



No gráfico I, a função horária é definida pela equação S_1(t)=a_1t^2+b_1t e, no gráfico II, por S_2(t)=a_2t^2+b_2t Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II.


Assim, a razão a1/a2 é igual a:


P.S: Agradeço se puder fazer o passo a passo

Anexos:

Vicktoras: Você tem o gabarito?, cheguei a uma resolução aqui, mas não tenho total certeza
Melissa08: Desculpa, esqueci de colocar. GABARITO = 4

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras
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Por meio dos cálculos realizados, podemos conlcuir que a razão entre os coeficientes das funções horárias é dada por \boxed{\bf\frac{a_1}{a_2}=4}.

Explicação

Temos as seguintes funções:

 \begin{cases} \bf S_1(t)=a_1t^2+b_1t  \\  \bf S_2(t)=a_2t^2+b_2t \end{cases}

Para resolvermos esta questão, devemos colher todo o tipo de informação que o gráfico nós dá.

  • Parábola:

Temos duas expressões quadráticas, isto é, os gráficos serão representados por parábolas.

  • A concavidade é dada pelo coeficiente que acompanha o termo de segundo grau, caso este seja maior que 0, a concavidade é para cima, caso contrário terá concavidade para baixo.

Observe que ambas as parábolas são voltadas para baixo, isto é,  \bf a_1 <0 e \bf a_2 <0, então podemos ter a certeza de que a razão entre estes dois é \bf\frac{ a_1 }{a_2}    > 0 \\ .

________________________________

  • Raízes:

Quando uma função intersecta o eixo x, é porque neste ponto ela tem uma raíz. Se você observar o gráfico em anexo, tanto a primeira como a segunda função possuem uma parábola que corta o eixo x em dois pontos. Então temos que:

  • O gráfico 1 corta o eixo x nos pontos  \bf O(0,\:0) e \bf A(t_1,\:0) .
  • O gráfico 2 corta o eixo x nos pontos \bf O(0,\:0) e \bf A(2t_1,\:0) .

________________________________

  • Vértices:

O vértice de uma parábola é um ponto onde tem-se uma altura máxima ou mínima, onde o mesmo também é dependente do coeficiente do termo quadrático.

  • Vale ressaltar que pelo gráfico, podemos ver que ambos os vértices possuem a mesma altura, ou seja, podemos dizer que \bf V_1(t) = V_2(t) e as coordenadas dos mesmos são \bf V_1\left(\frac{t_1}{2},0\right)\\ e \bf V_2\left({t_1},0\right)\\.

________________________________

Tendo organizado todos os dados, vamos iniciar o cálculo da questão em si.

  • 1) Primeiro vamos substituir as raízes que encontramos nas funções horárias dadas no enunciado.

Não vamos utilizar as raízes no ponto (0,0), uma vez que o valor de entrada = valor de saída, isto é, vamos apenas receber uma confirmação de que se x = 0, y = 0.

P(t_1,0)  \to \begin{cases}  S_1(t)=a_1t^2+b_1t  \\ 0 =a_1( t_1) {}^{2}  +b_1(t_1)  \\  \bf b_1 =  - a_1 t_1\end{cases} \:  \:  \:   \\  \\ P(2t_1,0)  \to \begin{cases} S_2(t)=a_2t^2+b_2t  \\ 0 =a_2(2 t_1) {}^{2}  +b_2(2t_1)  \\ \bf b_2 =  -2 a_2 t_1\end{cases}

  • 2) Os vértices são iguais e o ponto é um máximo.

\:\:\:\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:   \: \bf V_1(t) = V_2(t)

Como foi mencionado, os vértices possuem suas próprias coordenadas, ou seja, é possível montar outra relação com as funções horárias.

V_1 \left( \frac{t_1}{2} ,0 \right)  \to \begin{cases}  V_1(t)=a_1t^2+b_1t  \\ V_1(t) =a_1\left( \frac{t_1}{2}  \right)  {}^{2}  +b_1\left( \frac{t_1}{2} \right)   \\  \bf V_1(t) =   \frac{a_1t_1 {}^{2} }{4} +  \frac{b_1t_1}{2}  \end{cases} \:  \:  \:   \\  \\ V_2(2t_1,0)  \to \begin{cases} V_2(t)=a_2t^2+b_2t  \\ V_2(t) =a_2( t_1) {}^{2}  +b_2(t_1)  \\ \bf V_2(t) =  a_2 t_1{}^{2}  +b_2t_1\end{cases}

Como os dois são iguais, então podemos igualar estas expressões acima.

\:\:\:\:\:\:\:\: \:  \: \frac{a_1t_1 {}^{2} }{4} +  \frac{b_1t_1}{2} =   a_2 t_1{}^{2}  +b_2t_1 \\

Descobrimos os valores de b1 e b2 através do tópico do tópico 1). Logo:

\frac{a_1t_1 {}^{2} }{4} +   \frac{( - a_1 t_1) t_1}{2}  = a_2 t_1{}^{2}  +(-2 a_2t_1)t_1 \\  \\ \frac{a_1t_1 {}^{2} }{4}  -   \frac{ a_1 t_1 {}^{2} }{2}  =  a_2 t_1{}^{2}   - 2 a_2t_1 {}^{2}  \\  \\ a_1 t_1 {}^{2} . \left( \frac{1}{4}  -  \frac{1}{2}  \right) =a_2 t_1 {}^{2} (1 -  2)\\  \\   \frac{a_1 t_1 {}^{2}}{a_2 t_1 {}^{2}}  =  \frac{(1 - 2)}{\left( \frac{1}{4}  -  \frac{1}{2}  \right)}  \:  \:  \to \:  \:    \boxed{\bf\frac{a_1 }{a_2}  = 4}

Portanto concluímos que esta é a razão.

Espero ter ajudado

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Anexos:

Melissa08: Muito obrigada, me ajudou bastante!
Vicktoras: Por nadaa (ノ◕ヮ◕)ノ*.✧
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