Question

Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t.



No gráfico I, a função horária é definida pela equação $S_1(t)=a_1t^2+b_1t$ e, no gráfico II, por $S_2(t)=a_2t^2+b_2t$ Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II.


Assim, a razão a1/a2 é igual a:


P.S: Agradeço se puder fazer o passo a passo

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, podemos conlcuir que a razão entre os coeficientes das funções horárias é dada por $\boxed{\bf\frac{a_1}{a_2}=4}$.

Explicação

Temos as seguintes funções:

$\begin{cases} \bf S_1(t)=a_1t^2+b_1t \\ \bf S_2(t)=a_2t^2+b_2t \end{cases}$

Para resolvermos esta questão, devemos colher todo o tipo de informação que o gráfico nós dá.

• Parábola:

Temos duas expressões quadráticas, isto é, os gráficos serão representados por parábolas.

• A concavidade é dada pelo coeficiente que acompanha o termo de segundo grau, caso este seja maior que 0, a concavidade é para cima, caso contrário terá concavidade para baixo.

Observe que ambas as parábolas são voltadas para baixo, isto é, $\bf a_1 <0$ e $\bf a_2 <0$, então podemos ter a certeza de que a razão entre estes dois é $\bf\frac{ a_1 }{a_2} > 0$.

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• Raízes:

Quando uma função intersecta o eixo x, é porque neste ponto ela tem uma raíz. Se você observar o gráfico em anexo, tanto a primeira como a segunda função possuem uma parábola que corta o eixo x em dois pontos. Então temos que:

• O gráfico 1 corta o eixo x nos pontos $\bf O(0,\:0)$ e $\bf A(t_1,\:0)$.
• O gráfico 2 corta o eixo x nos pontos $\bf O(0,\:0)$ e $\bf A(2t_1,\:0)$.

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• Vértices:

O vértice de uma parábola é um ponto onde tem-se uma altura máxima ou mínima, onde o mesmo também é dependente do coeficiente do termo quadrático.

• Vale ressaltar que pelo gráfico, podemos ver que ambos os vértices possuem a mesma altura, ou seja, podemos dizer que $\bf V_1(t) = V_2(t)$ e as coordenadas dos mesmos são $\bf V_1\left(\frac{t_1}{2},0\right)$ e $\bf V_2\left({t_1},0\right)$.

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Tendo organizado todos os dados, vamos iniciar o cálculo da questão em si.

• 1) Primeiro vamos substituir as raízes que encontramos nas funções horárias dadas no enunciado.

Não vamos utilizar as raízes no ponto (0,0), uma vez que o valor de entrada = valor de saída, isto é, vamos apenas receber uma confirmação de que se x = 0, y = 0.

$P(t_1,0) \to \begin{cases} S_1(t)=a_1t^2+b_1t \\ 0 =a_1( t_1) {}^{2} +b_1(t_1) \\ \bf b_1 = - a_1 t_1\end{cases} \: \: \: \\ \\ P(2t_1,0) \to \begin{cases} S_2(t)=a_2t^2+b_2t \\ 0 =a_2(2 t_1) {}^{2} +b_2(2t_1) \\ \bf b_2 = -2 a_2 t_1\end{cases}$

• 2) Os vértices são iguais e o ponto é um máximo.

$\:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf V_1(t) = V_2(t)$

Como foi mencionado, os vértices possuem suas próprias coordenadas, ou seja, é possível montar outra relação com as funções horárias.

$V_1 \left( \frac{t_1}{2} ,0 \right) \to \begin{cases} V_1(t)=a_1t^2+b_1t \\ V_1(t) =a_1\left( \frac{t_1}{2} \right) {}^{2} +b_1\left( \frac{t_1}{2} \right) \\ \bf V_1(t) = \frac{a_1t_1 {}^{2} }{4} + \frac{b_1t_1}{2} \end{cases} \: \: \: \\ \\ V_2(2t_1,0) \to \begin{cases} V_2(t)=a_2t^2+b_2t \\ V_2(t) =a_2( t_1) {}^{2} +b_2(t_1) \\ \bf V_2(t) = a_2 t_1{}^{2} +b_2t_1\end{cases}$

Como os dois são iguais, então podemos igualar estas expressões acima.

$\:\:\:\:\:\:\:\: \: \: \frac{a_1t_1 {}^{2} }{4} + \frac{b_1t_1}{2} = a_2 t_1{}^{2} +b_2t_1$

Descobrimos os valores de b1 e b2 através do tópico do tópico 1). Logo:

$\frac{a_1t_1 {}^{2} }{4} + \frac{( - a_1 t_1) t_1}{2} = a_2 t_1{}^{2} +(-2 a_2t_1)t_1 \\ \\ \frac{a_1t_1 {}^{2} }{4} - \frac{ a_1 t_1 {}^{2} }{2} = a_2 t_1{}^{2} - 2 a_2t_1 {}^{2} \\ \\ a_1 t_1 {}^{2} . \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) =a_2 t_1 {}^{2} (1 - 2)\\ \\ \frac{a_1 t_1 {}^{2}}{a_2 t_1 {}^{2}} = \frac{(1 - 2)}{\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right)} \: \: \to \: \: \boxed{\bf\frac{a_1 }{a_2} = 4}$

Portanto concluímos que esta é a razão.

Espero ter ajudado

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