Question

Os amigos Ana,Daniela, Helena, Luíza, Guilherme, Marcos e Rafael vão ocupar os 7 lugares de uma mesma fileira em um cinema. Determine de quantos modos esse lugares poderão ser ocupados se.
a) Não há qualquer restrição
b) Os lugares das extremidades da fileira deverão ser ocupados pelos rapazes;
c) Os três primeiros lugares da fileira deverão ser ocupados pelos rapazes;
d) Daniel e Rafael, que são irmãos, deverão sentar juntos;
e) as moças deverão sentar juntas;
f) as moças deverão permanecer juntas e os rapazes, também, juntos ;
g) Não haverá duas moças nem dois rapazes juntos.

Answer 1

a) Se não há qualquer restrição todos podem se permutar entre sí. 7!
7x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 modos diferentes de ocupar as cadeiras.

b) agora temos restrição. R _ _ _ _ _ R
Na primeira extremidade poderá se sentar qualquer um dos rapazes. Então para esse primeiro lugar teremos 3 possibilidades. Resta agora apenas 2 rapazes para a outra outra extremidade ou seja total 2. Então aqui temos 6 possibilidades que irá se multiplicar pelos 5 outro lugares que serão ocupados pelas mulheres.
3 x 2 x 5! = 3 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 possibilidades

c) Como os três primeiros lugares da fileira serão ocupados pelos três rapazes, vamos considerar como os três fosse apenas 1. Restam 4 cadeiras a ocupar que as mulheres poderão se sentar.

_ x 4! (esse espaço em branco significa os três rapazes). Agora lembre-se que eles podem sentar se permutando ou seja R1, R2, R3 ou R3, R1, R2, etc.

3! x 4! = 6 x 24 = 144 possibilidades

d) Agora Daniel e Rafael deverão sentar juntos. Vamos considerar Daniel e Rafael apenas 1. _ 6! (Daniel e Rafael juntos e os outros 5). Vamos permutar todos.
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

e) as moças deverão sentar juntas e consequentemente os rapazes.
2 ! x 3! (2 fatorial porque os homens podem ocupar a esquerda e mulheres a direita ou vice versa) 2 x 3 x 2 x 1 = 12