Question

obter uma PA de três termos cuja a soma seja igual a 12 e cujo produto seja igual a 60

Answer 1

Primeiro passo é escrever a Progressão Aritmética Genérica, veja só:

$P.A(a_1,a_2,a_3)$

Montarei um sistema para representar os dados do enunciado, veja só:

$\left\{\begin{array}{ccc}a_1+a_2+a_3=12\\\\a_1*a_2*a_3=60\end{array}\right$

Com o sistema, vamos substituir pelo valor geral de cada elemento:

$\left\{\begin{array}{ccc}a_1+a_1+r+a_1+2r=12\\\\(a_1)*(a_1+r)*(a_1+2r)=60\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc}3a_1+3r=12\\\\a_1+r=4\\\\\boxed{r = 4-a_1}\end{array}\right$

Com o valor da razão, substituirei na segunda equação do sistema:

$\left\{\begin{array}{ccc}(a_1)*(a_1+4-a_1)*(a_1+8-2a_1)=60\\\\(a_1)*(4)*(-a_1+8)=60\\\\4a_1*(-a_1+8)=60\\\\-4a_1^2+32a_1-60=60\\\\\boxed{\boxed{a_1 = \frac{-32\pm\sqrt{64}}{-8} \to \left \{ {{a_1'=3} \atop {a_1''=5}} \right. \to \left \{ {{r'=4-a_1 = 4-3=1} \atop {r'' =4-a_1 = 4-5 = -1}} \right. }} \end{array}\right$

$Quando\ a_1=3\ e\ r=1 \to P.A(3,4,5)\\\\Quando\ a_1=5\ e\ r=-1\to P.A(5,4,3)$

Espero ter ajudado. =^.^=

Answer 2

a1 + a2 + a3 = 12       
a1. a2. a3 = 60          

a1 + a1.r + a1.2r = 12
a1.(a1+r).(a1-2r) = 60

1º termo:  x - r
2º termo:  x
3º termo: x + r

Soma:
(x - r) + x + (x + r) = 12
3x + r - r = 12
3x = 12
x = 4

Produto:
(x - r).x. (x + r) = 60
(4 - r). 4.(4 + r) = 60
(4 - r). (16 + 4r) = 60
64 + 16r - 16r - 4r² = 60
64 - 60 = 4r²
4 = 4r²
4/4 = r²
r² = 1
r = +1 ou - 1

Então pode ser:

r = 1

x = 4
x - r = 4 - 1 = 3
x + r = 4 + 1 = 5

r = -1

x = 4
x - r = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5
x + r = 4 + (-1) = 4 - 1 = 3

PA: (3,4.5) ou (5,4,3)